(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.

(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.

(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.

(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.

Do vai trò bình đẳng giữa các biến $a,b,c$ nên KGTTQ, ta giả sử $c=min{(a,b,c)}$Nhận thấy $\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)(c-a)} =0$Do vậy: $\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)^2}+2\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)(c-a)}=(\sum_{cyc}^{}\frac{1}{b-c})^2=0 $$\geq 4.\frac{1}{a-b}.(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})=\frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab}$

Do vai trò bình đẳng giữa các biến $a,b,c$ nên KGTTQ, ta giả sử $c=min{(a,b,c)}$Nhận thấy $\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)(c-a)} =0$Do vậy: $\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)^2}+2\sum_{cyc}^{}\frac{1}{(b-c)(c-a)}=(\sum_{cyc}^{}\frac{1}{b-c})^2=0 $$\geq 4.\frac{1}{a-b}.(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})=\frac{4}{(a-c)(b-c)}\geq \frac{4}{ab}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$

Ta chứng minh: $\frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}\geq \frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow 1+\sqrt[3]{(abc)^2}\geq 2\sqrt[3]{abc}$ $($ đúng theo $AM-GM)$

Ta chứng minh: $\frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}\leq \frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow 1+\sqrt[3]{(abc)^2}\geq 2\sqrt[3]{abc}$ $($ đúng theo $AM-GM)$

Moi ra mới có cả đống:=="1) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/122033/pt-vo-ti-thu-10-pt-vo-ti-cuo-i-cu-a-hom-nay2)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/125260/kho3)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127135/giai-phuong-trinh-bang-phuong-phap-dat-an-phu-khong-hoan-toan-help-me4)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130370/giai-phuong-trinh"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""Tuôi cx làm 1 lần r mà méo thấy bài của mk ><

Moi ra mới có cả đống:=="1) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/122033/pt-vo-ti-thu-10-pt-vo-ti-cuo-i-cu-a-hom-nay2)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/125260/kho3)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127135/giai-phuong-trinh-bang-phuong-phap-dat-an-phu-khong-hoan-toan-help-me4)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130370/giai-phuong-trinh5)http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/129517/sqrt-2x-4-4-sqrt-2-x-sqrt-9x-2-16/37026#37026

CMR: Với mọi k nguyên duơng đều chọn được số nguyên dương n sao cho $n.2^{k}-7$ là số chính phương

$CMR:$ $\forall k \in Z+$ đều chọn được số $n \in Z+$ sao cho $n.2^{k}-7$ là số chính phương.

Đại số

$CMR:$ $\forall k \in Z+$ đều chọn được số $n \in Z+$ sao cho $n.2^{k}-7$ là số chính phương.

$CMR:$ $\forall k \in Z+$ đều chọn được số $n \in Z+$ sao cho $n.2^{k}-7$ là số chính phương.

Đại số