Cho hai số thực không âm $x,y$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\sqrt[3]{4(e^{3x}+e^{3y})}-\frac{2\sqrt[4]{(1+2x)^3(1+2y)^3}}{2}$$

Bài 1: Cho hai số thực không âm $x,y$. Tìm GTNN của biểu thức:$P=\sqrt[3]{4(e^{3x}+e^{3y})}-\frac{2\sqrt[4]{(1+2x)^3(1+2y)^3}}{2}$(Trích đề thi thử Lương Thế Vinh Hà Nội - lần 3)Bài 2: Cho$a, b, c \ge 0$:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+\sqrt{(a+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(c+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(a+c)^3+abc}} \le \frac{3}{4}$

Bất đẳng thức

Cho hai số thực không âm $x,y$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=\sqrt[3]{4(e^{3x}+e^{3y})}-\frac{2\sqrt[4]{(1+2x)^3(1+2y)^3}}{2}$$

Bài 1: Cho hai số thực không âm $x,y$. Tìm GTNN của biểu thức:$P=\sqrt[3]{4(e^{3x}+e^{3y})}-\frac{\sqrt[4]{(1+2x)^3(1+2y)^3}}{2}$(Trích đề thi thử Lương Thế Vinh Hà Nội - lần 3)Bài 2: Cho $a, b, c \ge 0$: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3$. Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+\sqrt{(a+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(c+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(a+c)^3+abc}} \le \frac{3}{4}$

Bất đẳng thức

Với $0$ Thật t vậy có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng minh(*):Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0<x,y<\pi $,ta có:$\frac{siinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$ Thật vậy ta có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng minh(*):Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0 Ta có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$ .Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = y Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với: $sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$ (ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được: $sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0<x,y< \pi $,ta có: :$\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$ Thật t vậy có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$ .Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với: $sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0 <x,y < \pi $,ta có:$sin\frac{x+y}{2}\geq \frac{sinx+siny}{2}$Ta có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$ .Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = y Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với: $sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$ (ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được: $sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0 Ta có:$ sinx+ siny $=$2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì$cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = y Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$(1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$(*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy$max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

$2cotA=cotB+cotC\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{sinA}=\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{a}+\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}\Leftrightarrow 2(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2a^{2}\Leftrightarrow 2a^{2}=b^{2}+c^{2}$(Đúng theo gt).

$2cotA=cotB+cotC\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{sinA}=\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}\Leftrightarrow 2\frac{cosA}{a}=\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}\Leftrightarrow 2(b^{2}+c^{2}-a^{2})=2a^{2}\Leftrightarrow 2a^{2}=b^{2}+c^{2}$(Đúng theo gt).

Gợi ý:Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$$(1)\Leftrightarrow2y^{3}+y=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$.y<0 PT vô nghiệm $\Rightarrow y\geq0$Xét hàm số :$f(t)=2t^{3}+t$ trên $R^{*}$Ta có:$f'(t)= 6t^{2}+1>0,\forall t \in R$ Từ đó f(t) đồng biến trên R+Từ $(1) \Leftrightarrow f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=y$.Thế vào (2) ta được $\sqrt{1-x^{2}} =2x^{2} -1+2x\sqrt{1-x^{2}}$.Đến đây bạn đặt x=cost,$t\in \left[ 0;\pi {} \right]$ Giải ra ta được $x=cos\frac{3\pi }{10}$;$y=\sqrt{2}sin\frac{3\pi }{10}$

Gợi ý:Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$$(1)\Leftrightarrow2y^{3}+y=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$.y<0 PT vô nghiệm $\Rightarrow y\geq0$Xét hàm số :$f(t)=2t^{3}+t$ trên $R^{*}$Ta có:$f'(t)= 6t^{2}+1>0,\forall t \in R^{*}$ .Từ đó f(t) đồng biến trên R+Từ $(1) \Leftrightarrow f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=y$.Thế vào (2) ta được $\sqrt{1-x^{2}} =2x^{2} -1+2x\sqrt{1-x^{2}}$.Đến đây bạn đặt x=cost,$t\in \left[ 0;\pi {} \right]$ Giải ra ta được $x=cos\frac{3\pi }{10}$;$y=\sqrt{2}sin\frac{3\pi }{10}$

Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm) $\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$

Điều kiện: $x^{2}-2y-1\geq 0$(PT1)$\Leftrightarrow \left ( x -y\right )(x^{2}-2y)=0\Leftrightarrow x=y\vee x^{2}-2y=0$(loại)Thế x=y vào (PT2) ta được: $2\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$Đặt $u=2-x;v=\sqrt{x^{2}-2x-1} (v\geq 0)$ Khi đó,ta có:$2v-\sqrt[3]{u^{3}-6v}=-u\Leftrightarrow u^{3}-6v=(2v+u)^{3}\Leftrightarrow 8v^{3}+12v^{2}u+6u^{2}v+6v=0\Leftrightarrow v\left[v^{2} +3(u+v)^{2}+3v{} \right]=0\Leftrightarrow v =0\vee v=0\wedge u+v=0\Leftrightarrow v=0$$\Leftrightarrow x^{2}-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{2}.$(Trường hợp còn lại loại do u=v=0 vô nghiệm)