Với $0<x,y<\pi $,ta có:$\frac{siinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$
Thật vậy ta có:$ sinx+ siny $= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$
.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)
Dấu “ =” xảy ra khi x = y
Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)
Bất đẳng thức trên tương đương với:
$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)
Chứng minh(*):
Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)
Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$