Có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
-x^2+2x+3=mx\Leftrightarrow x^2+(m-2)x-3=0(1)
Phương trình (1) có ac=-3<0\Rightarrow (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1;x_2\Rightarrow (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt (đpcm)
Có x_1;x_2 là 2 nghiệm của (1)\Rightarrow x_1+x_2=2-m;x_1 \times x_2=-3
Gọi A(x_1;mx_1);B(x_2;mx_2) là giao điểm của d và (P)
Gọi d'_{a}:y=ax+b là tiếp tuyến của (P) có hệ số góc a
Phương trình hoành độ điểm chung của d' và (P) là:
-x^2+2x+3=ax+b\Leftrightarrow x^2+(a-2)x+b-3=0(2)
Có P là hàm số bậc 2 nên d' là tiếp tuyến của (P) \Leftrightarrow (2) có nghiệm kép; nghiệm kép đó chính là hoành độ của tiếp điểm
Gọi hoành độ của tiếp điểm là x_0 thì x_0 chính là nghiệm kép của (2)\Rightarrow x_0=\frac{2-a}{2}\Rightarrow a=2-2x_0
\Rightarrow hệ số góc của tiếp tuyến tại A là 2-2x_1; tại B là 2-2x_2
Tiếp tuyến tại A vuông góc tiếp tuyến tại B \Leftrightarrow (2-2x_1)(2-2x_2)=-1
\Leftrightarrow 4-2(x_1+x_2)+4x_1x_2=-1\Leftrightarrow 4-2(2-m)+4.(-3)=-1\Leftrightarrow m=\frac{13}{3}
KL...........