Nếu đề bài là tìm giá trị lớn nhất thì như sau:
Có $5(a^2+b^2+c^2)=9(ab+2bc+ca)\Rightarrow 0=5a^2-9a(b+c)+5(b^2+c^2)-18bc$$\Rightarrow 0\geq 5a^2-9a(b+c)-2(b+c)^2\Rightarrow (a-2(b+c))(5a+(b+c))\leq 0$
$\Rightarrow a\leq 2(b+c)$
Có $P=\frac{a}{b^2+c^2}-\frac{1}{(a+b+c)^3}\leq \frac{2(b+c)}{\frac{(b+c)^2}{2}}-\frac{1}{27(b+c)^3}=\frac{4}{b+c}-\frac{1}{27(b+c)^3}$
Đặt $f(x)=4x-\frac{x^3}{27}$ với $x=\frac{1}{b+c}$
Có $f'(x)=4-\frac{x^2}{9};f'(x)=0\Leftrightarrow x=6$
Lập bảng biến thiên $f(x)$ ta tìm đc $maxf(x)=f(6)=16$
Có $P\leq f(x)\leq maxf(x)=16$
Dấu $"="$ có khi $b=c=\frac{1}{12};a=\frac{1}{3}$