$1)$Ta có $x^2-4x+(3-3^y)=0,\Delta' =4-(3-3^y)=1+3^y$Để pt có nghiệm nguyên $\Rightarrow \Delta'$là số chính phươngĐặt $\Delta'=a^2\Rightarrow 1+3^y=a^2\Rightarrow 3^y=(a-1)(a+1)$Nhận thấy $3^y$ là tích của hai số cách nhau 2 đơn vị. Điều này chỉ xảy ra khi $y=1$Với $y=1$ thì $x=0$ hoặc $x=4$Vậy $S={(0;1);(4;1)}$ $2)$ Áp dụng công thức $A\pm B=\frac{A^2-B^2}{A\mp B}(*)$Ta có $\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$Từ phương trình suy ra $\sqrt{y^2+4}+y=2(\sqrt{x^2+1}-x)\Rightarrow (y+2x)+(\sqrt{y^2+4}-2\sqrt{x^2+1})=0$Tiếp tục sử dụng $(*)\Rightarrow(y+2x)+\frac{y^2+4-4x^2-4}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (2x+y)+\frac{(y+2x)(y-2x)}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (x+2y)(1+\frac{x-2y}{\sqrt{y^2+4}+\sqrt{x^2+1}})=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow $ đpcm

$1)$Ta có $x^2-4x+(3-3^y)=0,\Delta' =4-(3-3^y)=1+3^y$Để pt có nghiệm nguyên $\Rightarrow \Delta'$là số chính phươngĐặt $\Delta'=a^2\Rightarrow 1+3^y=a^2\Rightarrow 3^y=(a-1)(a+1)$Nhận thấy $3^y$ là tích của hai số cách nhau 2 đơn vị. Điều này chỉ xảy ra khi $y=1$Với $y=1$ thì $x=0$ hoặc $x=4$Vậy $S={(0;1);(4;1)}$ $2)$ Áp dụng công thức $A\pm B=\frac{A^2-B^2}{A\mp B}(*)$Ta có $\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$Từ phương trình suy ra $\sqrt{y^2+4}+y=2(\sqrt{x^2+1}-x)\Rightarrow (y+2x)+(\sqrt{y^2+4}-2\sqrt{x^2+1})=0$Tiếp tục sử dụng $(*)\Rightarrow(y+2x)+\frac{y^2+4-4x^2-4}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (2x+y)+\frac{(y+2x)(y-2x)}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (x+2y)(1+\frac{x-2y}{\sqrt{y^2+4}+\sqrt{x^2+1}})=0\Rightarrow x+2y=0$