Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_n^2 \le \sum_{k=3}^na_n$Suy ra $\sum_{k=1}^na_n^2+4 \le \sum_{k=1}^na_n+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu $a_2 \le 1$ thì tương tự ta cũng có $\sum_{k=2}^na_n^2 \le \sum_{k=2}^na_n $Mà $a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có $\sum_{k=1}^na_n^2 \le \sum_{k=1}^na_n+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.

Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_k^2 \le \sum_{k=3}^na_k$Suy ra $\sum_{k=1}^na_k^2+4 \le \sum_{k=1}^na_k+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu $a_2 \le 1$ thì tương tự ta cũng có $\sum_{k=2}^na_k^2 \le \sum_{k=2}^ka_k $Mà $a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có $\sum_{k=1}^na_k^2 \le \sum_{k=1}^na_k+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.

$gt\Leftrightarrow ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) = a^3+b^3+c^3-3abc \le a^3+b^3+c^3$$\Rightarrow P \ge 1$$\min P=1$ chẳng hạn khi $a=b=1,c=0$

$gt\Leftrightarrow 4ab =(a+b-c)^2 \ge0$ thiết lập tt $\Rightarrow abc \ge 0$$gt\Leftrightarrow ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) = a^3+b^3+c^3-3abc \le a^3+b^3+c^3$$\Rightarrow P \ge 1$$\min P=1$ khi $a=b,c=0$