* chứng minh 0<
u_{n}<2 :
với n=1\rightarrow u_{1}=\sqrt{2} \rightarrow bđt đúng với n=1
giả sử bđt đúng \forall n=k\in N^{*} ta có 0<u_{k}<2
ta phải chứng minh 0<u_{k+1}<2. thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
0<u_{k}<2\Leftrightarrow 2<2+u_{k}<4\Leftrightarrow \sqrt{2}<\sqrt{2+u_{k}}<2\Leftrightarrow 0<u_{k+1}<2 ( đpcm )
từ đó suy ra (u_{n}) bị chặn (1).
* giả sử \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1\Leftrightarrow u_{n+1}<u_{n}\Leftrightarrow u_{n}^{2}-u_{n}-2>0
\Leftrightarrow u_{n}<-1 hoặc u_{n}>2 ( không thỏa mãn điều đã cm) nên \frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1
từ đó suy ra (u_{n}) là dãy đơn điệu tăng (2)
từ (1), (2) \Rightarrow tồn tại giới hạn của (u_{n})
gọi limu_{n}=limu_{n+1}=a nên 0\leqa\leq2
theo hệ thức truy hồi ta có a=\sqrt{2+a}. giải pt ta được a=-1 (loại) hoặc a=2 ( thỏa mãn )
vậy limu_{n}=2.
mong bạn đọc cho ý kiến!