c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

câu a kế thừa câu c.theo c có $cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8}$ và $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}$theo AM-GM ta có:VP $=\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{cosAcosBcosC}}\geq 6$tương tự cho VT ta được $VT\leq 6$mà VT=VP nên xảy ra dấu bằng. ta được đpcm

câu a kế thừa câu c.theo c có $cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8}$ và $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}$theo AM-GM ta có:VP $=\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\frac{1}{cosC}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{cosAcosBcosC}}\geq 6$tương tự cho VT ta được $VT\leq 6$mà VT=VP nên xảy ra dấu bằng. ta được đpcm

c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.

c,ta chứng minh VP$=cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8} (1)$thật vậy $(1)\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]cos(A+B)+\frac{1}{4}\geq 0$$\Leftrightarrow cos^{2}(A+B)+cos(A+B)cos(A-B)+\frac{1}{4}cos^{2}(A-B)+\frac{1}{4}[1-cos^{2}(A-B)]\geqslant 0$$\Leftrightarrow [cos(A+B)+cos(A-B)]^{2}+\frac{1}{4}sin^{2}(A-B)\geq 0$ (luôn đúng)dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}sin(A-B)=0 \\ cos(A+B)+cos(A-B)=0 \end{cases}\Leftrightarrow A=B=C$chứng minh tương tự ta được VT$=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{8}\geq VP$từ đó suy ra dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.b, mình nghĩ là bạn chưa được học bđt jensen nên mình trình bày như sau:trước hết ta chứng minh $\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2} \forall x,y\in (0;\pi )$thật vậy,$\forall x,y\in (0;\pi )$ ta có $cos\frac{x-y}{2}\leq 1\Leftrightarrow sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$$\Leftrightarrow \frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$bây giờ ta chứng minh $\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ta có $sin\frac{x+y+z}{3}=sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}=sin\frac{\frac{x+y}{2}+\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}}{2}$$\geq \frac{1}{2}[sin\frac{x+y}{2}+sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}]$$\geq \frac{1}{2}[\frac{1}{2}(sinx+siny)+\frac{1}{2}(sinz+sin\frac{x+y+z}{3})]=\frac{1}{4}[sinx+siny+sinz+sin\frac{x+y+z}{3}]$$\Rightarrow \frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$áp dụng thôi.ta có VT $=2(sinA+sinB+sinC)=6sin\frac{A+B+C}{3}\leq 6sin\frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$VP=tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (cái này trên lớp chắc b được cm rồi)theo cô si có : $tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt[3]{tanAtanBtanC}=3\sqrt[3]{tanA+ tanB+tanC}$$\Rightarrow tanA+tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$ dấu bằng khi A=B=Cmà VT=VP nên dấu bằng xảy ra. ta được đpcm.