Trong $(ACD)$ gọi $E = AG \cap CD$

xét trong (ABE) gọi $J = MI \cap BE$

$J \in MI, MI \subset (MNI) => J \in (MNI)$

$J \in BE, BE \subset (BCD) => J \in (BCD)$

$=>$ giao tuyến của $(MNI), (BCD)$ là đt $\triangle$ qua $J$ và song song với $BC, MN$, cắt $CD$ tại $P$, $BD$ tại $Q$

vì $(MNI)$ cắt các cạnh $AB,AC,CD,BD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ và không cắt các cạnh $BC, AD$nên thiết diện tạo bởi mp và hình chóp là hình thang $MNPQ$

giải hpt $\begin{cases}x - 2y  - \sqrt{xy} = 0 \\ \sqrt{x-1} + \sqrt{4y - 1 }= 0 \end{cases}$

gọi $E = AG \cap BC =>$ E là trung điểm của BC

ta có

$\frac{AM}{AS} = \frac{AG}{AE} = \frac{2}{3} => GM//SE$

$\frac{AN}{AM} = \frac{AG}{AD} = \frac{1}{2} =>GN//DM$

xét $\triangle  SMH, \triangle MNG$ có

$\widehat{MSH} = \widehat{NMG}, \widehat{SHM} = \widehat{MGN}$ (hai góc so le trong)

$=>\triangle SMH$  đồng  dạng  với $\triangle MNG  (g.g)$

$=>\frac{SM}{MN} = \frac{MH}{NG} = \frac{SH}{MG} = \frac{1}{1}$

$=> MG = SH$

mà $\frac{MG}{SE} = \frac{AM}{AS} = \frac{2}{3}$

$=> \frac{SH}{SE} = \frac{2}{3}$

mặt khác E là trung điểm của BC

$=>$ H là trọng tâm $\triangle SBC (dpcm)$

a) có 2 cách chọn ra 1 cặp vợ chồng

có $C^{3}_{8}$ cách chọn 3 người còn lại

vậy có $2. C^{3}_{8}$ cách chọn 5 người

b) có $C^{4}_{20}$ cách chọn 4 bóng đèn từ 20 bóng

có $C^{4}_{14}$ cách chọn 4 bóng đèn từ 14 bóng không bị hỏng

vậy có $C^{4}_{20} - C^{4}_{14}$ cách chọn 4 bóng đèn mà trong đó có ít nhất 1 bóng bị hỏng => xác suất  là $\approx 0.793$

Xét 2mp $(SAB).(SCD)$ ta có

$S \in (SAB) \cap (SCD)     (1)$

trong mp (ABCD) $E = AB \cap CD$

$E \in AB, AB \subset (SAB) => E \in (SAB)$

$E \in CD, CD \subset (SCD)=> E \in (SCD)$

$E \in (SAB) \cap (SCD)              (2)$

trong mp $(A'B'C'D')$ $E' = A'B' \cap C'D'$

$E' \in A'B', A'B' \subset (SAB)=>E\in(SAB)$

$E' \in C'D', C'D' \subset (SCD) => E \in (SCD)$

$=> E' \in (SAB) \cap (SCD)            (3)$

$(1)(2)(3)=>dpcm$

2) số cách chọn 3 hs nam: $C^{3}_{10}$

Số cách chọn 3 hs nữ: $C^{3}_{3}$

vậy có $C^{3}_{10}.C^{3}_{6} = 2400$ cách chọn