Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$I=\int\limits\frac{(2x^3-x)dx}{x^4-x^2}=\int\limits\frac{2x^2-1}{x(x-1)(x+1)}dx=\int\limits(\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)})dx$

$=\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

$I=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{e^{\frac{x}{3}}dx}{e^{\frac{x}{3}}(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}$

Đặt   $t=e^{\frac{x}{3}}+2\Rightarrow dt=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}dx\Leftrightarrow 3dt=e^{\frac{x}{3}}dx$

Đổi cận:  $x=0\Rightarrow t=3$               
              $x=3\ln2\Rightarrow t=4$

$\Rightarrow I=3\int\limits_{3}^{4}\frac{dt}{t^2(t-2)}=3\int\limits_{3}^{4}(\frac{1}{4(t-2)}-\frac{1}{4t}-\frac{1}{2t^2})dt$  (sử dụng đồng nhất thức để tách)

$=3(\frac{1}{4}\ln|t-2|-\frac{1}{4}\ln|t|+\frac{1}{2t})|^4_3=\frac{3}{4}\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{8}$

$\int\limits\frac{dx}{e^x+1}=\int\limits(1-\frac{e^x}{e^x+1})=x-\int\limits\frac{e^x}{e^x+1}dx$

$=x-\int\limits\frac{d(e^x+1)}{e^x+1}=x-\ln|e^x+1|+C$