|
|
1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số
ĐỊNH NGHĨA
Tích của vectơ →a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k→a được xác định như sau
1) Nếu k⩾0 thì vectơ k→acùng hướng với vectơ →a
Nếu k<0 thì vectơ k→a ngược hướng với vectơ →a
2) Độ dài của vectơ k→a bằng |k|.|→a|
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ)
Nhận xét:
Từ định nghĩa ta thấy ngay 1→a=→a,(−1)→a là vectơ đối của →a, tức là (−1)→a=−→a
Vi dụ : Ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta có:
a) →BC=2→MN;→MN=12→BC
b)→BC=(−2)→NM;→MN=(−12)→CB
c)→AB=2→MB;→AN=(−12)→CA
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số
Với hai vectơ bất kì →a, →b và mọi số thực k,l ta có
1) k(l→a)=(kl)→a
2) (k+l)→a=k→a+l→a
3) k(→a+→b)=k→a+k→b;k(→a−→b)=k→a−k→b
4) k→a=→0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc →a=0
CHÚ Ý:
1) Do tính chất 1 ,ta có (−k)→a=(−1)(k→a)=−(k→a). Bởi vậy cả hai vectơ (−k)→a và −(k→a)đều có thể viết đơn giản là −k→a
2) Vectơ mn→a có thể viết là m→an. Chẳng hạn 13→a có thể viết là →a3
Bài toán 1:
Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kỳ, ta có →MA+→MB=2→MI
Giải:
Với điểm M bất kì, ta có:
→MA=→MI+→IA
→MB=→MI+→IB
Như vậy
→MA+→MB=2→MI+→IA+→IB
Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi →IA+→IB=→0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Vectơ →b cùng phương với vectơ →a(→a≠0) khi và chỉ khi có số k sao cho →b=k→a
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B ,C thẳng hàng là có số k sao cho →AB=k→AC.
4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Định lí
Cho hai vectơ không cùng phương →a và →b. khi đó mọi vectơ →x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ →a và →b, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho →x=m→a+n→b.
|