1 Khái niệm hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng ${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^\alpha }$, trong đó $\alpha $ là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy
- Hàm số ${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^n}$ với n nguyên dương, xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$
- Hàm số${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^n}$, với n nguyên âm hoặc n = 0 , xác định với mọi $x \ne 0$.
- Hàm số ${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{x}}^\alpha }$ , với $\alpha $ không nguyên , có tập xác định là tập hợp các số thực dương
Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
CHÚ Ý
Theo định nghĩa, đẳng thức $\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}$ chỉ xảy ra nếu $x > 0$ do đó, hàm số $y = {x^{\frac{1}{n}}}$ không đồng nhất với hàm số $y = \sqrt[n]{x}\,\,\,\,\,\,\,(n \in {\mathbb{N}^*})$. Chẳng hạn, hàm số $y = \sqrt[3]{x}$là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$; còn hàm số luỹ thừa$y = {x^{\frac{1}{3}}}$ chỉ xác định với mọi $x > 0$.
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
ĐỊNH LÍ
a) Hàm số luỹ thừa ${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{a}}^\alpha }$(với $\alpha \in \mathbb{R}$)có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và
$\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
b) Nếu hàm số ${\text{u }} = {\text{ u}}\left( x \right)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số ${\text{y }} = {\text{ }}{{\text{u}}^\alpha }\left( x \right)$ cũng có đạo hàm trên J và
$\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)$
CHÚ Ý
a) Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: $\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$
(với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi $x \ne 0$ nếu n lẻ)
b) Nếu${\text{u }} = {\text{ u}}\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm trên J và thoả mãn điều kiện ${\text{u}}\left( x \right) > 0$với mọi $x \in J$khi n chẵn, ${\text{u}}\left( x \right) \ne 0$ với mọi $x \in J$khi n lẻ thì
$\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}$ (với mọi $x \in J$)
Ví dụ : $\left( {\sqrt[3]{{\sin 3x}}} \right)' = \frac{{\left( {\sin 3x} \right)'}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}}}} = \frac{{c{\text{os}}3x}}{{\sqrt[3]{{{{\sin }^2}3x}}}}$
Nhận xét: Do ${1^\alpha } = 1$ với mọi $\alpha $ nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm $(1; 1)$
|