1. Vi phân của hàm số tại một điểm
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$. Khi đó ta có: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
Nếu $\left| {\Delta x} \right|$ khá nhỏ thì tỷ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ rất gần với $f'\left( {{x_0}} \right)$, do đó ta có thể coi rằng $ f^{'}(x_{0} ) \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} \Leftrightarrow \Delta y \approx f^{'}(x_{0}).\Delta x$ (1)
Khái niệm: Tích $f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$(ứng với số gia $\Delta x$) và được kí hiệu là $df\left( {{x_0}} \right)$ tức là
$df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số $f\left( x \right) = \operatorname{s} {\text{inx}}$ tại điểm ${x_0} = \frac{\pi }{4}$ là
$df\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right).\Delta x = c{\text{os}}\frac{\pi }{4}.\Delta x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\Delta x$
2. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng
Từ (1) và định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm, ta thấy:
Khi $\left| {\Delta x} \right|$ khá nhỏ thì số gia của hàm số tại điểm ${x_0}$ ứng với số gia $\Delta x$xấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại ${x_0}$ ứng với số gia $\Delta x$ đó, tức là
$f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$ (2)
Ví dụ: tính giá trị của $\sin {30^o}30'$
Do $\sin {30^o}30' = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}$. Áp dụng công thức (2), ta được
$\begin{gathered}
f\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) + f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right).\frac{\pi }{{360}},\,\,\,hay \\
\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx \sin \frac{\pi }{6} + \left( {c{\text{os}}\frac{\pi }{6}} \right)\frac{\pi }{{360}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{\pi }{{360}} \approx 0,5076 \\
\Rightarrow \,\,\,\sin {30^o}30' = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx 0,5076 \\
\end{gathered} $
3. Vi phân của hàm số
Nếu hàm số $f$ có đạo hàm $f'$ thì tích $f'\left( x \right)\Delta x$ gọi là vi phân của hàm số $y = f\left( x \right)$, kí hiệu là $df\left( x \right) = f'\left( x \right)\Delta x$ (3)
đặc biệt với hàm $y = x$, ta có $dx = \left( x \right)'\Delta x = \Delta x$. Do đó ta viết (3) dưới dạng: $df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\,\,\,\,{\text{hay}}\,\,\,\,dy = y'dx$
Ví dụ: $d\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right)'dx = \left( {3{x^2} - 4x} \right)dx = x\left( {3x - 4} \right)dx$
|