Một số bài toán về giới hạn thuộc các dạng vô định và kí hiệu chúng, theo thứ tự là :
$1)\frac{0}{0}; \frac{\infty }{\infty } 2)0.\infty 3)\infty - \infty $
Khi tìm các giới hạn dạng này, ta cần thực hiện một vài phép biến đổi khử dạng vô định để có thể sử dụng được các định lí và quy tắc đã biết.
1) Dạng $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty }{\infty }$
Ví dụ: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - \sqrt {2x - 1} }}{{{x^2} - 12x + 11}}$
Giải: ta có dạng vô định $\frac{0}{0}$ . Nhân tử và mẫu của phân thức với $x - \sqrt {2x - 1} $, ta được
$\frac{x-\sqrt{2x-1} }{x^{2}-12x+11 }=\frac{(x-\sqrt{2x-1} )(x+\sqrt{2x-1} )}{(x^{2}-12x+11)(x+\sqrt{2x-1} )} $
$=\frac{x^{2}-2x+1 }{(x-1)(x-11)((x+\sqrt{2x-1} ))} =\frac{x-1}{(x-11)(x+\sqrt{2x-1} )}(\forall x \neq 1) $
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - \sqrt {2x - 1} }}{{{x^2} - 12x + 11}}\,\,\, = \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 11} \right)\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)}} = 0$
2) Dạng $0.\infty $
Ví dụ 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} $
Ta có dạng vô định $0.\infty $. Với mọi $x > 2$, ta có:
$(x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} = (x - 2)\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {(x - 2)(x + 2)} }} = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }}$
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} = \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} \sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
3) Dạng $\infty - \infty $
Ví dụ : Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)$
Ta có dạng vô định $\infty - \infty $. Nhân và chia biểu thức đã cho với biểu thức $\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)$, ta được:
$\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right) = \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}$$\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right) $
$= \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}$
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}} = 0$
($\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)$được gọi là biểu thức liên hợp của biểu thức $\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)$)
|