1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {{x_0};b} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên phải là số thực L khi x tiến dần đến ${x_0}$ (hoặc tại điểm ${x_0}$) nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {{x_0};b} \right)$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L$. Khi đó ta viết $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$ hoặc$f\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ + $.
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến dần đến ${x_0}$(hoặc tại điểm ${x_0}$) nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L$. Khi đó ta viết $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$ hoặc $f\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ - $.
Nhận xét:
1) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f\left( x \right) = L$
2) Ta thừa nhận điều khoản ngược lại cũng đúng, nghĩa là:
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$ thì hàm số $f$có giới hạn tại điểm ${x_0}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$
3) Các định lí 1 và 2 trong bài 4 vẫn đúng khi thay $x \to {x_0}$ bởi $x \to x_0^ - $ hoặc $x \to x_0^ + $.
2. Giới hạn vô cực
1) Các định nghĩa $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty $
được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
2) Nhận xét 1 và nhận xét 2 trên vẫn đúng với giới hạn vô cực.
|