|
|
1.Dãy số có giới hạn $ + \infty $
ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$ có giới hạn là $ + \infty $ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết : $\lim ({u_n}) = + \infty $ hoặc $\lim {u_n} = + \infty $ hoặc ${u_n} \to + \infty $
2. Dãy số có giới hạn $ - \infty $
ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$có giới hạn là $ - \infty $ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhở hơn số âm đó.
Khi đó ta viết : $\lim ({u_n}) = - \infty $ hoặc $\lim {u_n} = - \infty $ hoặc ${u_n} \to - \infty $
$\lim ({u_n}) = - \infty \Leftrightarrow \lim ( - {u_n}) = + \infty $
Các dãy số có giới hạn $ + \infty $ và $ - \infty $ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Định lí: Nếu $\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty $ thì $\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0$
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Vì $ + \infty $ và $ - \infty $ không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí trong bài 2 cho các dãy số có giới hạn vô cực. Khi tìm các giới hạn vô cực, ta có thể sử dụng các quy tắc:
a) Quy tắc 1:
Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $ và $\lim {v_n} = \pm \infty $ thì $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$ được cho trong bảng sau:
Ví dụ: Vì ${n^2} = n.n$ và $\lim n = + \infty $ nên $\lim {n^2} = + {\infty _{}}$. Tương tự, với mọi số nguyên dương k ta có $\lim {n^k} = + \infty $
b) Quy tắc 2:
Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $ và $\lim {v_n} = L \ne 0$ thì $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$được cho trong bảng sau:
Ví dụ: Tìm $\lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}}$
Giải:
Chia tử và mẫu cảu phân thức cho ${n^3}$(${n^3}$ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được
$\frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}$
Vì $\lim \left( {3 + \frac{2}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0,\lim \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = 0$ và $\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}} > 0$ với mọi n nên
$\lim \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = + \infty $
|