1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
ĐN: Ta nói rằng dãy số (un)có giới hạn là số thực L nếu lim(un−L)=0
Khi đó ta viết
lim(un)=L hoặc limun=L hoặc un→L
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ : Dãy số không đổi (un)với un=c(c là hằng số) có giới hạn là c vì
lim(un−c)=lim(c−c)=lim0=0
2. Một số định lí
Định lí 1: giả sử limun=L.. Khi đó
a) lim|un|=|L| và lim3√un=3√L;
b) Nếu un⩾0 với mọi n thì L⩾0và lim√un=√L
Ví dụ 3: lim√9+cos2nn=3 vì lim(9+cos2nn)=9.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn u1,u1q,u2q2,...,u1qn,... có công bội q với |q|<1(gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn). Ta có, tổng của cấp số nhân đã cho là
limSn=u11−q và S=u1+u1q+u1q2+...=u11−q
Ví dụ 6: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số.
Giải:
Ta có 0,777...=710+7102+7103+...
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=710và công bội q=110. Do đó: 0,777...=7101−110=79
|