1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
ĐN: Ta nói rằng dãy số $({u_n})$có giới hạn là số thực L nếu $\lim ({u_n} - L) = 0$
Khi đó ta viết
$\lim ({u_n}) = L$ hoặc $\lim {u_n} = L$ hoặc ${u_n} \to L$
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ : Dãy số không đổi $({u_n})$với ${u_n} = c$(c là hằng số) có giới hạn là c vì
$\lim \left( {{u_n} - c} \right) = \lim \left( {c - c} \right) = \lim 0 = 0$
2. Một số định lí
Định lí 1: giả sử $\lim {u_n} = L.$. Khi đó
a) $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|$ và $\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}$;
b) Nếu ${u_n} \geqslant 0$ với mọi $n$ thì $L \geqslant 0$và $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L $
Ví dụ 3: $\lim \sqrt {9 + \frac{{c{\text{os}}2n}}{n}} = 3$ vì $\lim \left( {9 + \frac{{c{\text{os}}2n}}{n}} \right) = 9$.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn ${u_1},{u_1}q,{u_2}{q^2},...,{u_1}{q^n},...$ có công bội $q$ với $\left| q \right| < 1$(gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn). Ta có, tổng của cấp số nhân đã cho là
$\lim {S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ và $S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$
Ví dụ 6: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số.
Giải:
Ta có $0,777... = \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{{{10}^2}}} + \frac{7}{{{{10}^3}}} + ...$
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = \frac{7}{{10}}$và công bội $q = \frac{1}{{10}}$. Do đó: $0,777... = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}$
|