|
|
1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.
2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị $\left\{ {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right\}$. Để hiểu rõ hơn về X, ta thường quan tâm đến xác suất X để nhận giá trị ${x_k}$ tức là các số $P\left( {X = {x_k}} \right) = {p_k}$ với $k = 1,2,...,n.$
Ta có, bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X
với ${p_1} + {p_2} + ... + {p_n} = 1$
Ví dụ: Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy hàng tuần là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc X. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau:
 
Nhìn vào bảng ta biết được xác suất để tối thứ bảy trên đoạn đường A không có vụ vi phạm nào là 0,1. Xác suất để xảy ra nhiều nhất một vụ vi phạm luật giao thông là $0,1 + 0,2 = 0,3$
3. Kỳ vọng
ĐN:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là $\left\{ {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right\}$. Kỳ vọng của X, kí hiệu là $E(X)$, là một số được tính theo công thức
$E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} $
ở đó ${p_i} = P\left( {X = {x_i}} \right)\left( {i = 1,2,...,n} \right)$
Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ trung bình của X. Vì thế kỳ vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X. Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tập giá trị của X.
Ví dụ 4: Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông trong đêm thứ bảy ở đoạn đường A nói trong ví dụ phần (2). Tính E(X).
Giải: Ta có
$E\left( X \right) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,2 + 4.0,1 + 5.0,1 = 2,3$
Như vậy ở đoạn đường A mỗi tối thứ bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm giao thông.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn
a) Phương sai
ĐN: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là $\left\{ {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right\}$
Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức
$V(X) = {({x_1} - \mu )^2}{p_1} + {({x_2} - \mu )^2}{p_2} + ... + {({x_n} - \mu )^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {} {({x_i} - \mu )^2}{p_i}$
ở đó ${p_i} = P(X = {x_i})(i = 1,2,...,n)$ và $\mu = E(X)$
Ý nghĩa: Phương sai là số không âm biểu thị mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.
b) Độ lệch chuẩn:
ĐN: Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là $\sigma (X)$, được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là : $\sigma (X) = \sqrt {V(X)} $
Chú ý: có thể chứng minh được rằng
$V(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2{p_i} - {\mu ^2}} $
Ví dụ 5: Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông vào tối thứ bảy nói trong ví dụ phần (2). Tính phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải: Từ ví dụ 4 ta có $\mu = {\rm E}\left( X \right) = 2,3$. Từ công thức tính phương sai, ta có:
$\begin{gathered}
V(X) = {(0 - 2,3)^2}.0,1 + {(1 - 2,3)^2}.0,2 + {(2 - 2,3)^2}.0,3 + {(3 - 2,3)^2}.0,2 + \\
+ {(4 - 2,3)^2}.0,1 + {(5 - 2,3)^2}.0,1 = 2,01 \\
\end{gathered} $
Độ lệch chuẩn là $\sigma (X) = \sqrt {2,01} \approx 1,418$
|