Bài toán $1$: Tìm $m$ để phương trình (PT) sau có nghiệm duy nhất: $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=m (1)$
Lời giải
• Điều kiện cần. Trong PT $(1)$ vai trò của $x$ và $2 – x$ là như nhau. Vì vậy nếu PT $(1)$ có nghiệm là $x_0$ thì $2 – x_0$ cũng là nghiệm của nó. Giả sử PT $(1)$ có nghiệm duy nhất là $x_0$ thì $x_0 = 2 - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 1$. Thay vào $(1)$ ta được $m=2. $
• Điều kiện đủ. Ta xét $m = 2$ thì PT$(1)$ có dạng $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=2 (2)$
Cách 1. Điều kiện $0 \le x \le 2 (*)$
Bình phương hai vế của PT$(2)$ rồi rút gọn được
$\sqrt{x(2-x)}=1\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn $(*)$).
Cách 2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
$\left (\sqrt{x}+\sqrt{2-x} \right )^2 \le 2(x+2-x)=4\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{2-x} \le 2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 2 – x \Leftrightarrow x = 1$. Suy ra PT$(2)$ có nghiệm duy nhất $x=1$.
Kết luận. Vậy với $m = 2$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=1.$
Bài toán $2$. Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\begin{cases}a(x^2+1)+|x|=y \\x^2+ y^2=1 \end{cases}$ (I)
Lời giải
• Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$. Do $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ (I) nên suy ra $( - x_0, y_0)$ cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra $x_0 = - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 0 $
Thay vào hệ (I), ta được $\begin{cases}a=y \\ y^2=1 \end{cases}$
Suy ra $a=-1$ hoặc $a=1$.
• Điều kiện đủ.
a) Nếu $a=-1$ thì hệ (I) có dạng
$\begin{cases}|x|=x^2+1+y \\x^2+ y^2=1 \end{cases}$ (II)
$\Leftrightarrow
\begin{cases}|x|=x^2+1+y \\x^2+ (|x|-x^2-1)^2=1 \end{cases} $
Xét PT $
x^2+ (|x|-x^2-1)^2=1 \Leftrightarrow |x|.f(x)=0$, trong đó $f(x)=x^2|x|+4x^2-2|x|-2$
Ta thấy $f(0)=-2, f(1)=1 \implies f(0).f(1) <0 \implies f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$
Do đó hệ (II) có ít nhất hai nghiệm nên $a=-1$ không là giá trị cần tìm.
b) Nếu $a=1$ thì hệ (I) có dạng
$\begin{cases}|x|+x^2=y-1 \\x^2+ y^2=1 \end{cases}$ (III)
Từ $y – 1 = |x| + x^2$ suy ra $y \ge 1$, từ $x^2+ y^2=1 $ suy ra $y \le 1$ . Vậy ta có $y=1$.
Thay $y = 1$ vào hệ (III) ta được $\begin{cases}|x|+x^2=0 \\x^2=0 \end{cases}$
Vậy $(x; y) = ( 0;1)$ là nghiệm duy nhất của hệ (III).
Kết luận. Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $a=1$.
Bài toán $3$. Tìm sao $a$ cho với mọi giá trị của $b$ hệ phương trình sau có nghiệm :
$\begin{cases}(a-1)x^5+y^5=1 \\ 1+(a+1)bxy^4=a^2 \end{cases}$ (IV)
Lời giải
• Điều kiện cần.
Giả sử hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của $b$ suy ra với $b = 0$ hệ (IV) cũng có nghiệm :
$\begin{cases}(a-1)x^5+y^5=1 \\ 1=a^2 \end{cases}$
Suy ra $a=-1$ hoặc $a=1$.
• Điều kiện đủ. .
a) Với $a=1$ thì hệ (IV) có dạng $\begin{cases}y^5=1 \\ bx=0 \end{cases}$
Hệ này ít nhất có $(x ;y) = (0 ;1)$ là nghiệm với mọi giá trị của $b.$
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của $b.$
a) Với $a=-1$ thì hệ (IV) có dạng $\begin{cases}-2x^5+y^5=1 \\1=1 \end{cases}$
Hệ này ít nhất có $(x ;y) = (0 ;1)$ là nghiệm với mọi giá trị của $b.$
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của $b.$
Kết luận. Với $a=-1$ hoặc $a=1$ thì hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của $b$.
Bài toán $4$. Tìm $m$ để hai phương trình sau tương đương
$\begin{cases}x^2+(m^2-5m+6)x=0 (3)\\ x^2+2(m-3)x+m^2-7m+12=0 (4) \end{cases}$
Lời giải
Điều kiện cần. gỉa sử PT$(3)$ và PT$(4)$ tương đương với nhau. Vì phương trình $(3)$ luôn có nghiệm $x = 0$ nên PT$(4)$ cũng phải có nghiệm $x = 0$. Vì vậy, ta phải có $m^2 – 7m + 12 = 0 \Leftrightarrow m = 3$ hoặc $m = 4$.
Điều kiện đủ.
a) Nếu $m = 3$ thì PT $(3)$ và $(4)$ đều có dạng $x^2 = 0$ suy ra với $m = 3$ thì PT$(3)$ tương đương PT$(4)$
b) Nếu $m = 4$ thì PT$(3)$ và PT$(4)$ đều có dạng $x^2 + 2x = 0$. Suy ra với $m = 4$ thì PT$(3)$ tương đương với PT$(4).$
Kết luận. PT $(3)$ tương đương với PT$(4)$ khi và chỉ khi $m = 3$ hoặc $m = 4$.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm $a$ để các phương trình và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
a) $\sqrt{x--5}+\sqrt{9-x}=a $
b) $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(3+x)(6-x)}=a $
c) $\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=a \\x+y=3a \end{cases}$
Bài 2. Tìm $a$ để với mọi giá trị của $b$ hệ phương trình sau có nghiệm
$\begin{cases}a(x^2+y^2)+x+y=b \\ y-x=b \end{cases}$
Bài 3. Tìm $ m$ để hai phương trình sau tương đương
$\begin{cases}(1+m^2)x^2-2(m^2-1)x+m^2-3=0 \\ x^2+(m-1)x+m^2-7m+1=0 \end{cases}$
|