PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

A. CÔNG THỨC
Nếu

$u(x), v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

$[a, b]$ thì :

$\int\limits_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = \left[ {u(x).v(x) } \right]\big|_a^b - \int\limits_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$
Tổng quát hơn cho nguyên hàm

$\int\limits u(x)v'(x)dx = \left[ {u(x).v(x) } \right] - \int\limits v(x)u'(x)dx$
Viết gọn là :

$\int\limits_{a}^{b}udv=\left (u.v \right ) \big|_a^b-\int\limits_{a}^{b}vdu$ và

$\int\limits udv=\left (u.v \right ) -\int\limits vdu$

Dạng $1.$

$\int\limits p(x)\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx$
Đặt

$u=p(x)$ và

$\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx=dv$ trong đó

$p(x)$ thường là đa thức, có thể là phân thức, hàm vô tỷ của

$x$ .

Dạng $2.$

$\int\limits p(x).\ln f(x)dx$
Đặt

$u=\ln f(x)$ và

$p(x) dx = dv$

Dạng $3.$

$\int\limits e^{f(x)}\left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]dx$
Đặt

$u=e^{f(x)}$ hoặc

$u= \left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]$
Ví dụ $1.$
Tính

$I=\int\limits x\cos xdx$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=x\sin x - \int\limits \sin x dx=\boxed{x\sin x + \cos x +C}$
Trong đó

$C$ là hằng số.

Ví dụ $2.$
Tính

$I=\int\limits x^3\cos xdx$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=x^3\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=3x^2dx \\ v=\sin x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=x^3\sin x - 3\int\limits x^2\sin x dx$
Đặt

$\begin{cases}u=x^2\\ dv=\sin x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2xdx \\ v=-\cos x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=x^3\sin x - 3\left[ {-x^2\cos x+2\int\limits x\cos x dx} \right]$
Đặt

$\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=x^3\sin x+3x^2\cos x -6\left[ {x\sin x - \int\limits \sin x dx} \right]=\boxed{x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\left ( x\sin x+\cos x \right )+C}$ .
Trong đó

$C$ là hằng số.

Ví dụ $3.$
Tính

$\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln^2 x dx$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=\ln^2 x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{2 \ln x}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{1}{4}x^4\ln^2 x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx$
Đặt

$\begin{cases}u=\ln x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{8}x^4\ln x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{8}\int\limits_{1}^{e}x^3 dx} \right]$

$=\frac{1}{4}e^4-\left[ {\frac{1}{8}e^4- \frac{1}{32} x^4\displaystyle \big|_1^e} \right]$

$=\frac{1}{4}e^4-\frac{3e^4+1}{32}$

$=\boxed{ \displaystyle \frac{5e^4-1}{32}}$

Ví dụ $4.$
Tính

$\int\limits_{1}^{2} \displaystyle \frac{2x\ln x dx}{(x^2+1)^2}$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=\ln x \\ dv= \displaystyle \frac{2x dx}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-1}d(x^2+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{-1}{x^2+1} \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{-\ln x}{x^2+1} \displaystyle \big|_1^2+\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\frac{-\ln2}{5} +I_1$
Trong đó,

$I_1= \int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{x}{x^2(x^2+1)} dx= \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x^2)}{x^2(x^2+1)}$

$I_1=\frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}\left ( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1} \right )d(x^2)=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{x^2+1}\displaystyle \big|_1^2=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$ .
Vậy

$I= \boxed{ \displaystyle \frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}-\frac{\ln2}{5}}$ .

Ví dụ $5.$
Tính

$I=\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\cos 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=\frac{1}3\sin 3x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\sin3x dx$
Đặt

$\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\sin 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=-\frac{1}3\cos 3x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\left[ -{\frac{1}3e^{-2x}\cos 3x-\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\cos3x dx} \right]$

$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx$

$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}I$

$\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )$
Vậy

$I=\boxed{ \displaystyle\frac{1}{13}e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )+C}$
Trong đó

$C$ là hằng số.
.
Ví dụ $6.$ (Đại học Khối

$A-2012$ )
Tính

$I=\int\limits_{1}^{3}\displaystyle \frac{1+ \ln (x+1)}{x^2}dx$
Lời giải :
Đặt

$\begin{cases}u=1+ \ln (x+1) \\ dv= \displaystyle \frac{dx}{x^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x+1} dx\\ v=\frac{-1}{x} \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=-\frac{1+ \ln (x+1)}{x} \displaystyle \big|_1^3+\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\frac{2+\ln2}{3} +I_1$
Trong đó,

$I_1= \int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\int\limits_{1}^{3}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\ln\left| {\frac{x}{x+1}} \right| \displaystyle \big|_1^3=\ln 3 - \ln 2$ .
Vậy

$I= \boxed{ \displaystyle \frac{2}{3}+\ln 3-\frac{2}{3}\ln2}$ .

Ví dụ $7.$ (Đại học Khối

$D-2012$ )
Tính

$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x(1+\sin 2x)dx$
Lời giải :

$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle xdx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx$
Đặt

$\begin{cases}u=x \\ dv= \sin 2x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos2x \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}-\frac{1}{2}x\cos2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle \cos 2xdx$

$=\frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}\sin 2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
Vậy

$I= \boxed{ \displaystyle \frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}}$ .

Ví dụ $8.$ (Đại học Khối

$B-2011$ )
Tính

$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1+x\sin x}{\cos^2x}dx$
Lời giải :

$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx=I_1+I_2$
Trong đó,

$I_1=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x |_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$
và

$I_2=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx$
Đặt

$\begin{cases}u=x \\ dv=\frac{\sin x}{\cos^2x} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{\cos x} \end{cases}$ .
Khi đó ta có :

$I_2=\frac{x}{\cos x} |_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{dx}{\cos x}$

$=\frac{2\pi}{3}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{d\sin x}{\sin^2x-1}$

$=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle\left ( \frac{1}{\sin x - 1}-\frac{1}{\sin x +1} \right )d\sin x$

$=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2} \displaystyle \left ( \ln \left| {\frac{\sin x -1}{\sin x + 1} }\right| \right ) |_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$=\frac{2\pi}{3}+\displaystyle \ln (2- \sqrt{3})$ .
Vậy

$I= \boxed{ \displaystyle \sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}+\ln (2- \sqrt{3})}$ .

Bài $1.$
Tính

$I=\int\limits_{\displaystyle 0 }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}x\cos^2xdx$

Bài $2.$
Tính

$I=\int\limits_{0 }^{1}\displaystyle \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx$

Bài $3.$
Tính

$I=\int\limits_{ 0 }^{1}e^{-2x}\sin^2(\pi x)dx$

Bài $4.$
Tính

$I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{4} }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{x^2\cos x}{\sin^3 x}dx$

Bài $5.$
Tính

$I=\int\limits \cos (\ln x)dx$

Bài $6.$
Tính

$I=\int\limits_{0 }^{\pi}e^{2x}\sin^2xdx$

Bài $7.$ (Đại học Khối

$D-2010$ )
Tính

$I=\int\limits_{1 }^{e}\left (2x-\frac{3}{x} \right )\ln x dx$

Bài $8.$ (Đại học Khối

$B-2009$ )
Tính

$I=\int\limits_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$

Thẻ

Tích phân × 239

Tích phân từng phần × 138

Lượt xem

162203

Chat chit và chém gió

Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:01 AM
Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:03 AM
wolf linhvân: 222 9/17/2017 7:22:51 AM
dominhdai2k2: u 9/21/2017 7:31:33 AM
arima sama: helllo m 10/8/2017 6:49:28 AM
๖ۣۜGemღ: Mọi người có thắc mắc hay cần hỗ trợ gì thì gửi tại đây nhé https://goo.gl/dCdkAc 12/6/2017 8:53:25 PM
anhkind: hi mọi người mk là thành viên mới nè 12/28/2017 10:46:02 AM
anhkind: 12/28/2017 10:46:28 AM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:24 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:31 PM
Rushia: .. 2/27/2018 2:09:31 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
Rushia: . 2/27/2018 2:09:34 PM
๖ۣۜBossღ: c 3/2/2018 9:20:18 PM
nguoidensau2k2: hello 4/21/2018 7:46:14 PM
☼SunShine❤️: Vẫn vậy <3 7/31/2018 8:38:39 AM
☼SunShine❤️: Bên này text chữ vẫn đẹp nhất <3 7/31/2018 8:38:52 AM
☼SunShine❤️: @@ lại càng đẹp <3 7/31/2018 8:38:59 AM
☼SunShine❤️: Hạnh phúc thế mấy câu hỏi vớ vẩn hồi trẩu vẫn hơn 1k xem 7/31/2018 8:41:00 AM
tuyencr123: vdfvvd 3/6/2019 9:30:53 PM
tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:53 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:54 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:55 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:55 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:58 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:01 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:05 PM
tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:05 PM
tuyencr123: bb 3/6/2019 9:31:06 PM
tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:07 PM
tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:38 PM
Tríp Bô Hắc: cho hỏi lúc đăng câu hỏi em có thấy dòng cuối là tabs vậy ghi gì vào tabs vậy ạ 7/15/2019 7:36:37 PM
khanhhuyen2492006: hi 3/19/2020 7:33:03 PM
ngoduchien36: hdbnwsbdniqwjagvb 11/17/2020 2:36:40 PM
tongthiminhhangbg: hello 6/13/2021 2:22:13 PM

Đăng nhập để chém gió cùng mọi người

hoàng anh thọ
Thu Hằng
Xusint
HọcTạiNhà
lilluv6969
ductoan933
Tiến Thực
my96thaibinh
01668256114abc
Love_Chishikitori
meocon_loveky
gaprodianguc95
smallhouse253
hangnguyen.hn95.hn
nguyencongtrung9744
tart
kto138
dphonglkbq
๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
huyhieu10.11.1999
phungduyen1403
lalinky.ltml1212
trananhvan12315
linh31485
thananh133
Confusion
Hàn Thiên Dii
•♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
dinhtuyetanh000
LeQuynh
tuanmotrach
bac1024578
truonglinhyentrung
Lê Giang
Levanbin147896325
anhquynhthivu
thuphuong30012003

Hoctainha.vn sử dụng tốt nhất bằng trình duyệt firefox
Firefox có thể download tại http://www.mozilla.org/vi/firefox/fx/

© 2011 Công ty Cổ phần Trực tuyến Minsoft Việt Nam - Minsoft Online .,JSC.
Giấy xác nhận cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 97/GXN-TTĐT cấp ngày 03/08/2012

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Liên quan