PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC

Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
-  Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
-  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$) theo ẩn kia.
-  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$
-  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên ${t_1}$, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và ${t_1}$
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Ví dụ 1:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                   $11x + 18y = 120$
Giải:
Ta thấy $11x  \vdots 6$ nên $x  \vdots 6$. Đặt $x = 6k$ ($k$ nguyên).
Thay vào (1) và rút gọn ta được:   $11k + 3y = 20$
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là $y$) theo $k$ ta được:
                   $y = \frac{{20 - 11k}}{3}$
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
                   $y = 7 - 4k + \frac{{k - 1}}{3}$
Lại đặt $\frac{{k - 1}}{3}$ $= t$ với $t$ nguyên suy ra $k = 3t + 1$. Do đó:
$\begin{array}   y = 7 - 4(3t + 1) + t = 3 - 11t  \\   x = 6k = 6(3t + 1) = 18t + 6  \\ \end{array}$
Thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:
      $\left\{ \begin{array}   x = 18t + 6  \\   y = 3 - 11t  \\ \end{array}  \right.$ với $t$ là số nguyên tùy ý

2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                      $5x – 3y = 2xy – 11$
Giải:

Biểu thị $y$ theo $x$:
                   $(2x + 3)y = 5x + 11$
Dễ thấy $2x + 3 \ne 0$ (vì $x$ nguyên ) do đó:
              $y = \frac{{5x + 11}}{{2x + 3}} = 2 + \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$
Để $y \in \mathbb{Z}$phải có $x + 5  \vdots 2x + 3$
            $\Rightarrow 2(x + 5)  \vdots 2x + 3$
            $\Rightarrow 2x + 3 + 7  \vdots 2x + 3$
            $\Rightarrow 7 \vdots 2x + 3$
Nên $(x,y)=(-1,6),(-2,-1),(2,3),(-5,2)$
Thử lại các cặp giá trị trên của $(x , y)$ đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                            ${x^2} - 2x - 11 = {y^2}$
Giải:
Cách 1: Đưa về phương trình ước số:
      ${x^2} - 2x + 1 - 12 = {y^2}$
$\Leftrightarrow {(x - 1)^2} - {y^2} = 12$
$\Leftrightarrow (x - 1 + y)(x - 1 - y) = 12$
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chứa $y$ có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng $y \geqslant 0$.
Thế thì $x - 1 + y \geqslant x - 1 - y$
$(x - 1 + y) - (x - 1 - y) = 2y$ nên $x - 1 + y$và $x - 1 - y$ cùng tính chẵn lẻ.
Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
$(x-1+y,x-1-y)=(6,2),(-2,6)$       
Do đó:  $(x,y)=(5,2),(-3,2)$
Đáp số: $(5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)$

Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với $x$:
              ${x^2} - 2x - (11 + {y^2}) = 0$
 $\Delta ' = 1 + 11 + {y^2} = 12 + {y^2}$
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
$\Delta '$ là số chính phương $\Leftrightarrow 12 + {y^2} = {k^2}(k \in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow {k^2} - {y^2} = 12 \Leftrightarrow (k + y)(k - y) = 12$
Giả sử $y \geqslant 0$  thì  $k + y$ $\geqslant k – y$  và  $k + y \geqslant$ 0
$(k + y) – (k – y) = 2y$  nên  $k + y$  và  $k – y$ cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
               $\left\{ \begin{array}   k + y = 6  \\   k - y = 2  \\ \end{array}  \right.$
Do đó: $y = 2$
Thay vào (2):  ${x^2} - 2x - 15 = 0$
                     $\Rightarrow {x_1} = 5,{x_2} =  - 3$
Ta có bốn nghiệm: $(5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)$

Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
            ${x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y + 3 = 0$                  (1)
Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
            ${x^2} + (3y - 1)x + (2{y^2} - y + 3) = 0$            (2)
$\Delta  = {(3y - 1)^2} - 4(2{y^2} - y + 3) = {y^2} - 2y - 11$
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là $\Delta$ là số chính phương
$\Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2}(k \in \mathbb{N})$                                  (3)
Giải (3) với nghiệm nguyên ta được ${y_1} = 5,{y_2} =  - 3$
Với $y = 5$ thay vào (2) được ${x^2} + 14x + 48 = 0$. Ta có: ${x_1} =  - 8,{x_2} =  - 6$
Với $y = -3$ thay vào (2) được ${x^2} - 10x + 24 = 0$. Ta có ${x_3} = 6,{x_4} = 4$
Đáp số: $(-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)$

3. Phương trình bậc cao hai ẩn
Ví dụ 5:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                  $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = {y^2}$           (1)
Giải:
Nếu $y$ thỏa mãn phương trình thì $– y$ cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử $y \geqslant 0$
(1) $\Leftrightarrow ({x^2} + 3x)({x^2} + 3x + 2) = {y^2}$
Đặt ${x^2} + 3x + 2 + 1 = a$, ta được:
     $(a - 1)(a + 1) = {y^2} \Leftrightarrow {a^2} - 1 = {y^2}$
$\Leftrightarrow (a + y)(a - y) = 1$
Suy ra $a + y = a – y$, do đó $y = 0$
Thay vào (1) được: ${x_1} = 0;{x_2} = - 1;{x_3} = - 2;{x_4} = - 3$
Đáp số: $(0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0)$

Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                  ${x^3} - {y^3} = xy + 8$                 (1)
Giải:
Cách 1:  $|x - y|.|{x^2} + xy + {y^2}| = |xy + 8|$
Dễ thấy $x \ne y$, vì nếu $x = y$ thì (1) trở thành $0 = {x^2} + 8$, loại.
Do $x, y$ nguyên nên $|x - y| \geqslant 1$
Suy ra:  $|{x^2} + xy + {y^2}| \leqslant |xy + 8|$
Do đó:  ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant |xy + 8|$                 (2)
Xét hai trường hợp:
$xy + 8 < 0$. Khi đó (2) trở thành:
${x^2} + xy + {y^2} \leqslant  - xy - 8 \Leftrightarrow {(x + y)^2} \leqslant  - 8$, loại
$xy + 8 \geqslant 0$. Khi đó (2) trở thành:
${x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant 8$          (3)
Do đó: ${x^2},{y^2} \in \{ 0;1;4\}$
Nếu $x = 0$ thì từ (1) có ${y^3} =  - 8$ nên $y =$ $-$2
Nếu $y = 0$ thì từ (1) có ${x^3} =  - 8$ nên $x = 2$
Nếu $x, y$ khác 0 thì ${x^2},{y^2} \in \{ 1;4\}$. Do $x \ne y$ nên chỉ có:
                   $\left\{ \begin{array}   {x^2} = 1  \\   {y^2} = 4  \\ \end{array}  \right.$  hoặc   $\left\{ \begin{array}   {x^2} = 4  \\   {y^2} = 1  \\ \end{array}  \right.$
Như vậy trong hai số $x$ và $y$ có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của (1) lẻ còn vế phải của (1) chẵn, không xảy ra.
Đáp số: $(0 ; -2), (2 ; 0)$

Cách 2: ${x^3} - {y^3} - xy = 8$                     (1)
       $\Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 27xy = 216$
       $\Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 1 - 27xy = 215$           (2)
Ta thấy $27{x^3}$, $- 27{y^3}$, $- 1$ là lập phương của $3x,$ - $3y,$$- 1$còn $27xy$  là ba lần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức:
${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c).\frac{{{{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}{2}$
Với $a = 3x, b = -3y, c = - 1$, ta biến đổi (2) thành:
$(3x - 3y - 1).\left[ {\frac{{{{(3x + 3y)}^2} + {{(1 - 3y)}^2} + {{(3x + 1)}^2}}}{2}} \right] = 215$      (3)
Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là $A$.
Ta thấy $A > 0$ nên $A$ và $3x - 3y - 1$ là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.
Do $3x - 3y - 1$ chi cho 3 dư 2 nên $3x - 3y - 1 \in \{ 5;215\}$
Xét hai trường hợp:
$\left\{ \begin{array}   3x - 3y - 1 = 5(4)  \\   A = 43(5)  \\ \end{array}  \right.$   và    $\left\{ \begin{array}   3x - 3y - 1 = 215  \\   A = 1  \\ \end{array}  \right.$
Trường hợp 1: từ (4) suy ra $x – y = 2$. Thay $y = x – 2$ vào (5) được:
${[3x + 3(x - 2)]^2} + {[1 - 3(x - 2)]^2} + {(3x + 1)^2} = 86$
Rút gọn được: $x(x – 2) = 0$ $\Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = 2$
Với $x = 0$ thì $y = 2$. Với $x =2$ thì $y =0$
Trường hợp 2: Từ $A = 1$ suy ra:
 ${(3x + 3y)^2} + {(1 - 3y)^2} + {(3x + 1)^2} = 2$
Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1.
Số bằng 0 không thề là $1 – 3y$ hoặc $3x + 1$, do đó $3x + 3y = 0$.
Nghiệm nguyên của hệ:
 $\left\{ \begin{array}   3x + 3y = 0  \\   {(1 - 3y)^2} = 1  \\   {(3x + 1)^2} = 1  \\ \end{array}  \right.$    là $x = y = 0$, không thỏa mãn $3x – 3y – 1 = 215$.
Đáp số: $(0 ; -0), (2 ; 0)$

Cách 3: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$
    $\Leftrightarrow {(x - y)^3} + 3xy(x - y) = xy + 8$
Đặt $x – y = a, xy = b$ ta có:
      ${a^3} + 3ab = b + 8$
$\Leftrightarrow {a^3} - 8 =  - b(3a - 1)$
Suy ra: ${a^3} - 8 \vdots 3a - 1$
      $\Rightarrow 27({a^3} - 8) \vdots 3a - 1$
      $\Rightarrow 27{a^3} - 1 - 215 \vdots 3a - 1$
Do $27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1$ nên $215 \vdots 3a - 1$
Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43
Do đó $3a - 1 \in \{  \pm 1; \pm 5; \pm 43; \pm 215\}$
Do $3a – 1$ chia cho 3 dư 2 nên $3a - 1 \in \{  - 1;5; - 43;215\}$
Ta có: Do $b = \frac{{{a^3} - 8}}{{1 - 3a}}$ nên:
$(a,b)=(0,-8),(2,0),(-14,-64),(72,-1736)$
Chú ý rằng ${(x - y)^2} + 4xy \geqslant 0$ nên ${a^2} + 4b \geqslant 0$, do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có $a = 2;b = 0$. Ta được: $x – y = 2; xy = 0$
Đáp số: $(0 ; -2)$ và $(2 ; 0)$

4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
Ví dụ 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
               $6x + 15y + 10z = 3$
Giải:
Ta thấy$10z  \vdots  3$ nên $z  \vdots  3$. Đặt $z = 3k$ ta được:
      $6x + 15y + 10.3k = 3$
$\Leftrightarrow 2x + 5y + 10k = 1$
Đưa về phương trình hai ẩn $x, y$ với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
       $2x + 5y = 1 - 10k$
$x = \frac{{1 - 10k - 5y}}{2} =  - 5k - 2y + \frac{{1 - y}}{2}$
Đặt $\frac{{1 - y}}{2}$ $= t$ với $t$ nguyên. Ta có:
$\begin{array}   y = 1 - 2t  \\   x =  - 5k - 2(1 - 2t) + t = 5t - 5k - 2  \\   z = 3k  \\ \end{array}$
Nghiệm của phương trình: $(5t - 5k - 2;1 - 2t;3k)$ với $t, k$ là các số nguyên tùy ý.

Ví dụ 8:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
                  ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1999$            (1)
Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1.
Tổng ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ là số lẻ nên trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$phải có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ.
Trường hợp trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$ có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của (1) chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại.
Trong trường hợp ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:   
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
                 $7(x + y) = 3(x^2 – xy + y^2)$
Hướng dẫn:
Đáp số : $(x, y) = (4, 5)$ hoặc $(5,4)$
Cách 1: Đổi biến $u = x + y, v = x – y$ ta đưa về phương trình:
                $28u = 3(u^2 + 3v^2).        (*)$
Từ (*) chứng minh được $u$ chia hết cho 9 và $0 \le u \le 9$ suy ra $u = 0$ hoặc $u = 9$
Cách 2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x.
                $3x^2 – (3y + 7)x + 3y^2 – 7y = 0$     (1)
Để (1) có nghiệm thì biệt thức $\Delta$ phải là số chính phương
Từ đó tìm được y

Bài 2:   
Tìm $x, y$ $\in {\mathbb{Z}^ + }$ thỏa mãn :
            $x^{2000} + y^{2000} = 2003^{2000}$     (1)
Hướng dẫn:
Đáp số: phương trình vô nghiệm
Giả sử $x \ge y$. Từ (1) suy ra $x < 2003$ và $x + 1 < 2003$
Ta có
      $2003^{2000} ≥ (x + 1)^{2000} > x^{2000} + 2000.x{1999}$
$\Rightarrow$$y^{2000} > 2000.x^{1999} ≥ 2000.y^{1999}$ $\Rightarrow$ $2003 > x ≥ y > 2000$
Vậy $x = 2002, y = 2001$
Thử lại không thỏa mãn (1)

Bài 3:   
Chứng minh $\forall n \in {\mathbb{N}^*},$ phương trình ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = {x_1}.{x_2}...{x_n}$ luôn có nghiệm trong ${\mathbb{N}^*}$.
Hướng dẫn:
Cho ${x_1} = {x_2} = ... = {x_{n - 2}} = 1$ ta đi đến phương trình
           $({x_{n - 1}} - 1)({x_n} - 1) = n - 1.$           (1)
Dễ thấy ${x_n} = n$và${x_{n - 1}} = 2$ thỏa mãn (1)
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là
$({x_1};{x_2};...;{x_{_n}}) = (1;1;...;2;n)$

Bài4:   
Chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 2001^n$  luôn có nghiệm nguyên với mọi $n ≥ 2$
Hướng dẫn:
Đặt ${2001^n} = 9m$. Bộ ba số $(m; m – 1; m + 1)$ là một nghiệm của phương trình đã cho