CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHẦN
II
PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ
Phương pháp:
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về
chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng
như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng
mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn..
1. Phương pháp phát hiện tính chia hết
của ẩn:
Ví dụ 1:
Giải phương trính với nghiệm nguyên:
$3x + 17y = 159$
Giải:
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và $2x$ đều
chia hết cho 3 nên $17y \vdots $3 do đó $y \vdots $3 ( vì 17 và 3
nguyên tố cùng nhau)
Đặt $y = 3t$ ($t \in \mathbb{Z}$). Thay vào phương trình ta được:
$3x + 17.3t = 159$
$ \Leftrightarrow $ $x + 17t = 53$
Do đó: $\left\{ \begin{array}
x = 53 - 17t \\
y = 3t \\
\end{array} \right.$ ( $t \in \mathbb{Z}$)
Đảo lại, thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào phương trình ta được nghiệm
đúng.
Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức:
$\left\{ \begin{array}
x = 53 - 17t \\
y = 3t \\
\end{array} \right.$ ($t$ là số nguyên tùy ý)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình : ${x^2} - 5{y^2} = 27$ (1)
không có nghiệm là số nguyên.
Giải:
Một số nguyên $x$ bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng $x = 5$k hoặc $x = 5k ±
1$ hoặc $x = 5k ± 2$ trong đó $k \in \mathbb{Z}$
• Nếu $x = 5k$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k)^2} - 5{y^2} = 27 $
$\Leftrightarrow 5(5{k^2} - {y^2}) = 27$
Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi $k$ và $y$ là số nguyên, còn
vế phải không chia hết cho 5
• Nếu $x = 5k \pm 1$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k \pm 1)^2} - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 25{k^2} \pm 10k + 1 - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 5(5{k^2} \pm 4k - {y^2}) = 23$
Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi $k$ và $y$ là số nguyên,
còn vế phải không chia hết cho 5
• Nếu $x = 5k \pm 2$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k \pm 2)^2} - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 25{k^2} \pm 20k + 4 - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 5(5{k^2} \pm 4k - {y^2}) = 23$
Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên
Ví dụ 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
$19x^2 + 28y^2 = 729$.
Giải
Cách
1. Viết phương trình đã cho dưới dạng
$(18x^2 + 27y^2) + (x^2 + y^2) =
729$ (1)
Từ (1) suy ra $x^2 + y^2$ chia hết cho 3, do đó $x$ và $y$ đều chia hết cho 3.
Đặt
$x = 3u$, $y = 3v$ $(u,v \in \mathbb{Z})$
Thay vào phương trình đã cho ta được : $19u^2 + 28v^2 =
81$. (2)
Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra $u = 3s, v = 3t$ $(s,t \in \mathbb{Z})$
Thay vào (2) ta có $19s^2 + 28t^2 = 9. $ (3)
Từ (3) suy ra $s, t$ không đồng thời bằng 0, do đó
$19s^2
+ 28t^2 ≥ 19 > 9.$
Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Cách
2. Giả sử phương trình có nghiệm
Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = -1$ (mod 4), điều này không xảy ra với
mọi số nguyên $x$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
2. Phương pháp đưa về phương trình ước
số
Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
$xy – x – y = 2$
Giải:
Biến đổi phương trình thành:
$x(y – 1) – y = 2$
$ \Leftrightarrow $$x(y – 1) – (y – 1) = 3$
$ \Leftrightarrow $$(y – 1)(x – 1) = 3$
Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số
nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có $x$ và $y$ là các số nguyên nên $x – 1 $
và $y – 1$ là các số nguyên và là ước của 23.
Do vai trò bình đẳng của $x$ và $y$ trong phương trình nên có thể giả sử $x
\geqslant y$, khi đó
$x – 1 \geqslant y – 1$
Ta có: $(x-1,y-1)=(3,1),(-1,-3)$
Do đó: $(x,y)=(4,2),(0,-2)$
Nghiệm nguyên của phương trình: $(4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0)$
Ví dụ 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x + xy + y = 9.$
Giải:
Phương trình đã cho có thể đưa về dạng :
$(x + 1)(y + 1) =
10$.
(1)
Từ (1) ta suy ra $(x + 1)$ là ước của 10 hay $(x + 1) \in \{ \pm 1; \pm
2; \pm 5; \pm 10\} $
Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là :
$(1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2).$
Ví dụ 6:
Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau
${x^3} + 3367 = {2^n}$
Giải:
Để sử dụng được hằng đẳng thức $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$ ta chứng
minh $n$ chia hết cho 3 .
Từ phương trình đã cho ta suy ra ${x^3} \equiv {2^n}$(mod 7).
Nếu n không chia hết cho 3 thì $2^n$ khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2,
4 hoặc 7, trong khi đó ${x^3}$ khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1,
hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức ${x^3} \equiv {2^n}$ (mod 7).
Vậy $n = 3m$ với $m$ là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã
cho ta được
${x^3} + 3367 = {2^{3m}}$
$({2^m} - x)[{(2m - x)^2} + 3x{.2^m}] =
3367$ (1)
Từ (1) ta suy ra ${2^m} - x$là ước của 3367
Hơn nữa,${({2^m} - x)^3} < {2^{3m}} - {x^3} = 3367$ nên $({2^m} - x) \in \{
1;7;13\} $
Xét${2^m} - x = 1$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 1) = 2 × 561$, vô nghiệm.
Xét ${2^m} - x = 3$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 13) = 2 × 15$, vô
nghiệm.
Xét ${2^m} - x = 7$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 7) = 24 × 32$. Từ đó ta
có
$m = 4; n = 3m = 12, và x = 9.$
Vậy $(x; n) = (9; 12)$
3. Phương pháp tách ra các giá trị
nguyên:
Ví dụ 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $9x + 2 = {y^2} + y$
Giải:
Biểu thị $x$ theo $y$:
$x(y – 1) = y + 2$
Ta thấy $y \ne 1$ ( vì nếu $y = $1 thì ta có $0x = 3$ vô nghiệm)
Do đó: $x = \frac{{y + 2}}{{y - 1}} = \frac{{y - 1 + 3}}{{y - 1}} = 1 +
\frac{3}{{y - 1}}$
Do $x$ là số nguyên nên $\frac{3}{{y - 1}}$ là số nguyên, do đó $y – 1$ là ước
của 3. Lần lượt cho $y – 1$ bằng $-1, 1, -3, 3$ ta được
Đáp số $\left\{ \begin{array}
x = k(k + 1) \\
y = 3k + 1 \\
\end{array} \right.$ với $k$ là số nguyên tùy ý
PHƯƠNG PHÁP 5: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC
CỰC HẠN
Ví dụ 8:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
${x^3} + 2{y^3} = 4{z^3}$
Giải:
Hiển nhiên $x \vdots 2$. Đặt $x = 2{x_1}$ với ${x_1}$ nguyên. Thay vào (1) rồi
chia hai vế cho 2 ta được:
$4x_1^3 + {y^3} =
2{z^3}$
(2)
Do đó $y \vdots 2$. Đặt $y = 2{y_1}$ với ${y_1}$ nguyên. Thay vào (2) rồi chia
hai vế cho 2 ta được:
$2x_1^3 + 4y_1^3 =
{z^3}$
(3)
Do đó $z \vdots 2$. Đặt $z = 2{z_1}$ với ${z_1}$ nguyên. Thay vào (3) rồi chia
hai vế cho 2 được:
$x_1^3 + 4y_1^3 =
4z_1^3$
(4)
Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì $({x_1},{y_1},{z_1})$ cũng
là nghiệm của (1) trong đó $x = 2{x_1},y = 2{y_1},z = 2{z_1}$.
Lập luận tương tự như trên, $({x_2},{y_2},{z_2})$ cũng là nghiệm của (1) trong
đó ${x_1} = 2{x_2},{y_1} = 2{y_2},{z_1} = 2{z_2}$.
Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: $x, y, z$ chia hết cho ${2^k}$ với $k$ là số tự
nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi $x = y = z = 0$.
Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1)
Ví dụ 9:
Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x, y, z$ thỏa mãn :
${x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y + z)^2}$
Giải:
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử $x < y < z$.
Áp dụng bất đẳng thức :
$\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3}
\geqslant {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}$
Với mọi $x, y, z ≥ 0$ ta suy ra $x + y + z ≤ 9.$
Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
Vậy $x + y + z ≤ 8.
$
(1)
Mặt khác: $x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 =
6$. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $x + y + z \in \{ 6;7;8\} $
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được $x, y, z $
Vậy $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ và các hoán vị của bộ ba số này
PHƯƠNG PHÁP 6: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Ví dụ 10:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
$1! +
2! + ... + x! =
{y^2}$ (1)
Giải:
Cho `x` lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương $(x ; y)$
của phương trình là $(1 ; 1), (3 ; 3)$
Nếu $x > 4$ thì dễ thấy $k!$ với $k > 4$ đều có chữ số tận cùng bằng 0
$ \Rightarrow $ $1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x!$ có chữ số tận
cùng bằng 3.
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3.
Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương $(x ; y)$ là (1 ; 1)
và (3 ; 3)
Ví dụ 11:
Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:
${x^2}
+ x - 1 = {3^{2y + 1}}$ (1)
Giải:
Cho x nhận các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của
${x^2} + x - 1$ chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy ${3^{2y + 1}}$
là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác
với 1; 5; 9.
Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên
dương.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm nghiệm của phương trình:
$2^x – 3 = 65y$
Hướng dẫn:
Ta chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Giả sử phương trình
$2^x – 3 = 65y$ có nghiệm nguyên ta suy ra
$2^x = 3 (mod 5)$ và $2^x = 3$ (mod 13)
Từ $2^x = 3$ (mod 5) suy ra $x = 3$ (mod 4) (1)
Từ $2^x = 3$ (mod 13) ta suy ra $x = 4$ (mod 12), trái với (1)
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a) $15x^2 – 7y^2 = 9$
b) $29x^2 – 28y^2 = 2000$
c) $1999x^2 – 2000y^2 = 2001$
d) $x^{2002} – 2000.y^{2001} = 2003$
e) $19x^2 – 84y^2 = 198$
Hướng dẫn:
a) Từ phương trình đã cho ta suy ra y chia hết cho 3. Đặt $y = 3y_1$. Ta có
$5x_2 – 21y_1^2 = 3$ (1)
Từ (1) suy ra x chia hết cho 3. Đặt x = 3x1. Ta có
$15x_1^2 – 7y_1^2 = 1$ (2)
Từ (2) suy ra $y_1^2 = -1$ (mod 3), vô nghiệm
b) Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = 5$ (mod 7). Vậy phương trình đã cho
vô nghiệm
c) Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = -1$ (mod 4).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
d) Từ phương trình đã cho ta suy ra $x$ lẻ và $x^2002 = 1$
(mod 4)
Suy ra 2003 = 1 (mod 4), vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e) Giả sử phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó: $y^2 + 1 = 0$ (mod
19). Vì 19 là số nguyên tố có dạng $4k + 3$ nên $y^2 + 1 = 0$ (mod 19) ta suy
ra 19 | 1, vô lí
Bài 3:
Tìm các số nguyên $x, y, z, t$ sao cho :
a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2}{y^2}$
b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz$
c) ${x^2} + y{}^2 + {z^2} + {t^2} = 2xyzt$
Hướng dẫn:
Sử dụng phương pháp xuống thang
a) Phương trình đã cho : ${x^2} + {y^2} + {z^2} =
{x^2}{y^2}$ (1)
Nếu cả $x$ và $y$ đều lẻ thì từ (1) suy ra $z$ chẵn. Khi đó, ${x^2} + {y^2} +
{z^2} \equiv 2(\bmod 4)$ còn ${x^2}{y^2} \equiv 1(\bmod 4):$ vô lí
Vậy 1 trong 2 biến $x, y$ phải chẵn
Giả sử x chẵn, từ (1) suy ra ${y^2} + {z^2} \vdots 4$ do đó cả $y$ và $z$ đều
phải chẵn
Đặt $x = 2{x_1},y = 2{y_1},z = 2{z_1}({x_1},{y_1},{z_1} \in \mathbb{N})$.
Thay vào (1) ta có $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4x_1^2.y_1^2.$
(2)
Từ (2) lại lập luận như trên ta suy ra ${x_1},{y_1},{z_1}$ đều chẵn
Cứ tiếp tục như vậy sẽ dẫn đến $x \vdots {2^k},y \vdots
{2^k},z \vdots {2^k},\forall k \in \mathbb{N}.$
Điều này chỉ xảy ra khi $x = y = z = 0$
b) , c) tương tự
Bài 4:
Cho phương trình: $x^3 – 3xy^2 + y^3 = n$
a) Giả sử phương trình đã cho có một nghiệm nguyên $(x, y)$.
Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm nguyên
b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên với $n = 2002$
Hướng dẫn:
a) Ta có
${x^3} - 3x{y^2} + {y^3} = {(y - x)^3} - 3(y - x){x^2} + {( - x)^3}$
$ = {( - y)^3} - 3( - y){(x -
y)^2} + {(x - y)^3}.$
b) Từ phương trình đã cho ta suy ra ${x^3} + {y^3} \equiv 1(\bmod
3).$
Suy ra $x \equiv 1(\bmod 3)$ và $y \equiv 0(\bmod 3)$ hoặc $x \equiv 0(\bmod
3)$ và $y \equiv 1(\bmod 3)$
Cả hai trường hợp ta đều có ${x^3} - 3x{y^2} + {y^3} \equiv 1(\bmod 9)$.
Do đó phương trình đã cho không còn nghiệm khi $n = 2002$.