SỬ DỤNG CÔNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP


GIỚI THIỆU
Nếu trong tổng dãy tổ hợp chứa hệ số là phân số $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$ ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Ta tính tích phân trong cả trường hợp chưa khai triển nhị thức Newton lẫn trong trường hợp đã khai triển. Hai kết quả bằng nhau. Sau đó thay $x, a, b$ bằng số phù hợp.

Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp bổ sung:
1: Nhân thêm $x,{x^2},...$
2. Truy hồi tích phân
3. Dựa vào tích phân cho trước

PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC

Các đẳng thức tích phân cần nhớ:
 $\int\limits_a^b {{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b$
$\int\limits_a^b {{{(1 - x)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ { - \frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0x - C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b$

$\int\limits_a^b {{{(x + 1)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^n} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(x + 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C_n^1\frac{{{x^n}}}{n} + C_n^2\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n - 1}} + ... + C_n^nx} \right]} \right|_a^b$

$\int\limits_a^b {{{(x - 1)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} - C_n^1\frac{{{x^n}}}{n} + C_n^2\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n - 1}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^nx} \right]} \right|_a^b$

Bài 1:
Tính $2C_n^0 + 4C_n^1 + \frac{{26}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số $\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$, ta biết cận từ 1 đến 3. Sử dụng $\int\limits_1^3 {{{(1 + x)}^n}} dx$.
Giải:
    $\int\limits_1^3 {{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3 = \left. {\left[ {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3 = \left. {C_n^0x} \right|_1^3 + \left. {C_n^1\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 + \left. {C_n^2\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 + ... + \left. {C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_1^3$
$ \Leftrightarrow \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} = 2C_n^0 + 4C_n^1 + \frac{{26}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Vậy $S = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$
Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như BT trên để tính thì kết quả nhanh hơn.

Bài 2:
Tính $S = C_n^0 + \frac{3}{2}C_n^1 + \frac{7}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Hướng dẫn:
Như bài trên, từ hệ số $\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$ ta lấy cận từ 1 đến 2. Lưu ý: ${1^{n + 1}} = 1,{0^{n + 1}} = 0$ nên đối với các giá trị ${1^{n + 1}}$ đề sẽ ghi là 1 và ${0^{n + 1}}$ hay 0 thì không cần ghi, ta phải tự nhận biết.
Kết quả $\frac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$.

Bài 3:
Tính tổng $S = 2C_n^0 - \frac{1}{2} \cdot {2^2}C_n^1 + \frac{1}{3} \cdot {2^3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^n$
Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, $\frac{1}{{n + 1}}$ gắn với $C_n^n$, có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là $\int\limits_0^2 {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} dx$.
Giải:
 $\int\limits_0^2 {{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$ \Leftrightarrow \left. {\left[ { - \frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2 = \left. {\left[ {C_n^0x - C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2$
$ \Leftrightarrow \frac{{1 - {{( - 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} = 2C_n^0 - \frac{1}{2} \cdot {2^2}C_n^1 + \frac{1}{3} \cdot {2^3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^n$
Vậy $S = \frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}$

Bài 4:
Tính tổng $S = \frac{1}{{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
Hướng dẫn:
chuỗi đan dấu, hệ số $\frac{1}{{n + 1}}$ gắn với $C_n^0$, có dấu hiệu sử dụng tích phân của ${(x - 1)^n}$, quan sát hệ số đầu ta lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả $S = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}$.

PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP BỔ SUNG
1: Nhân thêm $x,{x^2},...$
Phương pháp:

Thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k$. Nếu bài cho những hệ số dạng $\frac{1}{{k + 2}}C_n^k$ ta phải nhân thêm $x$trước khi tích phân, dạng $\frac{1}{{k + 3}}C_n^k$ ta nhân thêm ${x^2}$ trước khi tích phân,…

Bài 5:
Tính $S = \frac{1}{2}C_n^0 + \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 2}}C_n^n$.
Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta nhân thêm $x$ trước khi tích phân.
Giải:
$\int\limits_0^1 {x{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx$
$\begin{array}
  \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx \\=
\left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\
= \frac{1}{2}C_n^0 + \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 2}}C_n^n = S  \\
\end{array} $
$\int\limits_0^1 {x{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 + x)}^{n + 1}} - {{(1 + x)}^n}} \right]} dx = \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 2}}}}{{n + 2}} - \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^1$
$ = \frac{{{2^{n + 2}}}}{{n + 2}} - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{{n{{.2}^{n + 1}} + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}}$
Vậy $S = \frac{{n{{.2}^{n + 1}} + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Bài 6:
$S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n$
Phân tích: tương tự như bài trên nhưng ở đây chuỗi đan dấu.
Giải:
 $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_o^nx - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} } dx$
Tính $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx} $. Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du =  - dx$, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 0 \Rightarrow u = 1} \\
  {x = 1 \Rightarrow u = 0}
\end{array}} \right.$.
$\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx}  = \int\limits_0^1 {(1 - u){u^n}du = \left. {\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|} _0^1 - \left. {\frac{{{u^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right|_0^1$
$ = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$${I_n}$
$\begin{array}
  \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx  \\
= \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} - C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\
= \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n  \\
= S  \\
\end{array} $
Vậy $S = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

2. Truy hồi tích phân
Phương pháp:
Bước 1: Dùng tích phân từng phần để tính . Đưa ${I_n}$ về công thức truy hồi theo ${I_{n - 1}},{I_{n - 2}},...$ Truy hồi lần lượt để suy ra công thức tổng quát của ${I_n}$.
Bước 2: Dựa vào khai triển Newton để tính ${I_n}$.
Cho 2 kết quả bằng nhau.

Bài 7:
a) Tính ${I_n} = \int\limits_0^1 {{{(1 - {x^2})}^n}} dx$
b) Chứng minh rằng $1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$
Giải:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = {{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}} \\
  {dv = dx}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {du =  - 2nx{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n - 1}}dx} \\
  {v = x}
\end{array}} \right.$
${I_n} = \left. {\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}x} \right]} \right|_0^1 + 2n\int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n - 1}}dx}  \\
= 2n\int\limits_0^1 {\left[ {(1 - (1 - {x^2})} \right]} {\left( {1 - {x^2}} \right)^{n - 1}}dx$
  $ = 2n\int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 - {x^2})}^{n - 1}} - {{(1 - {x^2})}^n}} \right]} dx = 2n\left[ {{I_{n - 1}} - {I_n}} \right]$
$ \Rightarrow {I_n} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}{I_{n - 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}.\frac{{2n - 2}}{{2n - 1}}{I_{n - 2}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}.\frac{{2n - 2}}{{2n - 1}}...\frac{4}{5}.\frac{2}{3}{I_0}$
Mà ${I_0} = \int\limits_0^1 {dx = 1} $ nên ${I_n} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$.
Mặt khác
$\begin{array}
{I_n} = \int\limits_0^1 {{{(1 - {x^2})}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0 - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n){x^{2n}}} \right]dx}   \\
= \left. {\left[ {C_n^0x - \frac{1}{3}C_n^1{x^3} + \frac{1}{5}C_n^2{x^5} - ... + {{( - 1)}^n}\frac{1}{{2n + 1}}C_n^n){x^{2n + 1}}} \right]} \right|_0^1  \\
= 1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}}  \\
\end{array} $
Vậy $1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$.

3. Dựa vào tích phân cho trước
Phương pháp:
Tính trực tiếp tích phân và tính tích phân sau khi khai triển Newton. Cho 2 kết quả bằng nhau.

Bài 8:
a) Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {x{{(1 - {x^2})}^n}} dx$
b) Chứng minh $\frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{6}C_n^2 - ... + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n}}C_n^n = \frac{1}{{2(n + 1)}}$
Hướng dẫn:

Đặt ẩn phụ $u = 1 - {x^2}$ để tính trực tiếp I.

Bài 9:
Cho $n \in {\mathbb{Z}^ + }$.
a)    Tính $I = \int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + {x^3})}^n}dx} $
b)    Chứng minh $\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2 + ... + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{3(n + 1)}}$
Hướng dẫn:

Đặt ẩn phụ $u = 1 + {x^3}$ để tính trực tiếp I.

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:
Tính $S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 1.

Bài 2:
Tính $S = 2C_n^0 + 2C_n^1 + \frac{8}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n$
Kết quả: $\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$

Bài 3:
Tính tổng $S = C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{{C_n^n}}{{n + 1}}$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả $S = \frac{1}{{n + 1}}$.

Bài 4:
Tính $S = \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n} \cdot {2^n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}} \cdot {2^{n - 1}}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot 2C_n^n$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 2.
Kết quả $S = \frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}$.

Bài 5:
Tính $S = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{5}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 3}}C_n^n$
Hướng dẫn: $\int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + x)}^n}} dx$

Bài 6:
Tính $S = \frac{1}{{n + 3}}C_n^0 - \frac{1}{{n + 2}}C_n^1 + \frac{1}{{n + 1}}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{3}C_n^n$
Hướng dẫn: Tính $\int\limits_0^1 {{x^2}{{(x - 1)}^n}} dx$

Thẻ

× 156
× 239
× 14

Lượt xem

 13301
Bài 101606
Bài 102453
Bài 102598
Bài 113196
Bài 101644
Chat chit và chém gió
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:01 AM
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:03 AM
  • wolf linhvân: 222 9/17/2017 7:22:51 AM
  • dominhdai2k2: u 9/21/2017 7:31:33 AM
  • arima sama: helllo m 10/8/2017 6:49:28 AM
  • ๖ۣۜGemღ: Mọi người có thắc mắc hay cần hỗ trợ gì thì gửi tại đây nhé https://goo.gl/dCdkAc 12/6/2017 8:53:25 PM
  • anhkind: hi mọi người mk là thành viên mới nè 12/28/2017 10:46:02 AM
  • anhkind: party 12/28/2017 10:46:28 AM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:24 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: .. 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:34 PM
  • ๖ۣۜBossღ: c 3/2/2018 9:20:18 PM
  • nguoidensau2k2: hello 4/21/2018 7:46:14 PM
  • ☼SunShine❤️: Vẫn vậy <3 7/31/2018 8:38:39 AM
  • ☼SunShine❤️: Bên này text chữ vẫn đẹp nhất <3 7/31/2018 8:38:52 AM
  • ☼SunShine❤️: @@ lại càng đẹp <3 7/31/2018 8:38:59 AM
  • ☼SunShine❤️: Hạnh phúc thế sad mấy câu hỏi vớ vẩn hồi trẩu vẫn hơn 1k xem 7/31/2018 8:41:00 AM
  • tuyencr123: vdfvvd 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: bb 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:07 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:38 PM
  • Tríp Bô Hắc: cho hỏi lúc đăng câu hỏi em có thấy dòng cuối là tabs vậy ghi gì vào tabs vậy ạ 7/15/2019 7:36:37 PM
  • khanhhuyen2492006: hi 3/19/2020 7:33:03 PM
  • ngoduchien36: hdbnwsbdniqwjagvb 11/17/2020 2:36:40 PM
  • tongthiminhhangbg: hello 6/13/2021 2:22:13 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • hoàng anh thọ
  • Thu Hằng
  • Xusint
  • HọcTạiNhà
  • lilluv6969
  • ductoan933
  • Tiến Thực
  • my96thaibinh
  • 01668256114abc
  • Love_Chishikitori
  • meocon_loveky
  • gaprodianguc95
  • smallhouse253
  • hangnguyen.hn95.hn
  • nguyencongtrung9744
  • tart
  • kto138
  • dphonglkbq
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • huyhieu10.11.1999
  • phungduyen1403
  • lalinky.ltml1212
  • trananhvan12315
  • linh31485
  • thananh133
  • Confusion
  • Hàn Thiên Dii
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • dinhtuyetanh000
  • LeQuynh
  • tuanmotrach
  • bac1024578
  • truonglinhyentrung
  • Lê Giang
  • Levanbin147896325
  • anhquynhthivu
  • thuphuong30012003