SỐ PHỨC - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
CĂN BẢN
I. LÝ THUYẾT
1.Khái niệm:
Số phức là một biểu thức có dạng $a +
bi$ với $a,b \in \mathbb{R},\;{i^2} = - 1$
Kí hiệu : $z = a + bi$ với $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức được kí hiệu : $\mathbb{C}$
Lưu ý :
Mỗi số thực $a$ đều được xem là $1$ số phức với phần ảo $b=0$
Số phức có phần thực $a=0$ được gọi là số thuần ảo .
Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau :
Cho $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì $z = z'
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = a' \\
b = b' \\
\end{gathered} \right.$
3.Biểu diễn hình học của số phức :
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm $M(a;b)$ trên mặt phẳng tọa độ
$Oxy$.
4. Phép cộng và phép trừ các số phức :
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì
$z+z’=(a+a’) + (b+b’)i$ và $z-z’=(a-a’) + (b-b’)i$
5.Phép nhân số phức :
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì
$z.z’=(aa’-bb’)+ (ab’+a’b)i$
6.Số phức liên hợp :
Cho số phức $z=a+bi.$ Số phức $\overline z $$=a-bi$ được gọi là số phức
liên hợp của số phức $z$
7. Mô đun của số phức :
Cho $z=a+bi$ thì $\left| z \right|$ là mô đun của số phức $z$ đó là số thực
không âm được xác định như sau :
• Nếu $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z =a+bi$ thì $\left| z
\right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
• Nếu $z=a+bi$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z
} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
8.Phép chia số phức khác 0:
Cho số phức $z=a+bi$ thì số phức nghịch đảo của số phức $z$ là ${z^{ -
1}}$được xác định như sau
${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} +
{b^2}}}$
Chú ý : Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức cũng có đầy đủ các
tính chất giao hoán, phân phối , kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số
thực thông thường.
Các dạng bài tập căn bản:
• Tính phần thực, phần ảo của biểu thức phức
• Tính modun, liên hợp của số phức
• Tính toán trên các biểu thức phức
Lưu ý : Ta tính toán trong số phức như tính trong tập số thực.
Khi gặp $i^2$ thì ta thay bởi $-1$, và khi thực hiện phép chia thì ta nhân tử
và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức :
Phương pháp :
Biến đổi số phức về dạng $z= a+ bi$ từ đó xác định được phần thực $a$, phần
ảo $b$.
Bài 1:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z = \frac{{(3 + 2i)(\overline {2 +
5i)} }}{{{{(4 + 3i)}^2}}} - {(3 + i)^3}$
Hướng dẫn:
Tính liên hợp của $2+5i$ là $2-5i$ rồi nhân với $3+2i$, ta được $16-11i$
Khai triển bình phương của $4+3i$, được $7+24i$
Nhân tử và mẫu với $7-24i$, được $\frac{-152-461i}{25}$
Khai triển $(3+i)^3$, được $18+26i$
Thực hiện phép trừ, kết quả cuối cùng là :
$Re(z) = \frac{-602}{25} , Im(z) = \frac{-696}{25}$
Bài 2:
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z biết :
a. $z = {\left( { - i} \right)^{2009}}$
b. $\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}{\left( {1 -
\sqrt 2 i} \right)^2}$
c.$z$ thỏa mãn điều kiện : $\left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i}
\right)\overline z = - {\left( {1 + 3i} \right)^2}$
d. $z$ thỏa mãn điều kiện : ${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z
= 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z$
Hướng dẫn:
a. $z = {\left( {1 - i} \right)^{2009}} = {\left( {1 - i}
\right)^{2008}}\left( {1 - i} \right) = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}}
\right]^{1004}}\left( {1 - i} \right) = {2^{1004}} - {2^{1004}}i \\\Rightarrow
a = {2^{1004}};\;b = - {2^{1004}}$
b. $\overline z = 5 + \sqrt 2 \,i \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 \;i$
c. Gọi z = a + bi $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline
z = a - bi$
Thay vào đẳng thức đã cho tìm được $a = -2 , b = 5 $
d. $z = \frac{{8 + i}}{{2i + 1}} = 2 - 3i \Rightarrow a = 2;\;b = - 3$
Bài 3:
Cho số phức $z = a + bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Hỏi các số
sau đây là số thực hay số ảo:
a) ${z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2}$
b) $\frac{{{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + z\bar z}}$
Hướng dẫn:
a) ${z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} -
{\left( {a - bi} \right)^2} = 4abi$ là số ảo
b) $\frac{{{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + z\bar z}} =
\frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} + {{\left( {a - bi} \right)}^2}}}{{1 +
\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)}} = \frac{{2\left( {{a^2} +
{b^2}} \right)}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}$ là số thực
Bài 4:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {1 + i} \right)^n}$, biết
$n \in \mathbb{N}$và thỏa mãn phương trình ${\log _4}\left( {n - 3} \right) +
{\log _4}\left( {n + 9} \right) = 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện : $3 < n \in \mathbb{N}$
Giải phương trình ${\log _4}\left( {n - 3} \right) + {\log _4}\left( {n + 9}
\right) = 3$ được $n = 7$
Tìm được $z = {\left( {1 + i} \right)^7} = {\left( {1 + i} \right)^6}\left( {1
+ i} \right) = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^3}\left( {1 + i} \right)
= 8 - 8i$
Bài tập tự giải:
Bài 1:
Tìm phần ảo của số phức $z$, biết: $\bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 -
\sqrt 2 i)$.
Bài 2:
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) $(4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)$
b) $\frac{{\sqrt 3 - i}}{{1 + i}} - \frac{{\sqrt 2 + i}}{i}$
Loại 2 : Tính môđun, liên hợp của số phức :
Phương pháp :
Biến đổi số phức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$
Biến đổi số phức về dạng $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt
{{a^2} + {b^2}} $
Bài 1:
Tìm môđun của số phức $z = 1 + 4i + {\left( {1 - i} \right)^3}$
Hướng dẫn:
Vì ${\left( {1 - i} \right)^3} = {1^3} - 3i + 3{i^2} - {i^3} = 1 - 3i - 3 +
i = - 2 - 2i$
Suy ra: $z = - 1 + 2i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { -
1} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $
Bài 2:
a.Tìm $\left| z \right|$ biết $z = 1 + 4i + {\left( {1 - i} \right)^3}$
b.Tìm $\left| {\overline z + iz} \right|$ biết $\overline z =
\frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$
Hướng dẫn:
a. $z = - 1 + 2i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 5 $
b.
$\begin{gathered}
\overline z = \frac{{ - 8}}{{1 - i}} = - 4 - 4i \\
\Rightarrow \overline z + iz = - 8 - 8i \\
\Rightarrow \left| {\overline z + iz} \right| = 8\sqrt 2 \\
\end{gathered} $
Bài 3:
Tìm $\overline z $ biết $z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right)
+ \frac{1}{{3 + 2i}}$
Hướng dẫn:
$z = \frac{{68}}{{13}} - \frac{{11}}{{13}}i \Rightarrow \overline z =
\frac{{68}}{{13}} + \frac{{11}}{{13}}i$
Bài tập tự giải:
Bài 1:
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2 - 4i} \right|\, =
\,\sqrt 5 $. Tìm số phức $z$ có modun lớn nhất
Bài 2:
Tính $\left| z \right|$, biết rằng:
a) $z = {\left( {1 + i\sqrt 3 }
\right)^3}$
b) $z = \frac{1}{{1 + i}} + \frac{1}{{1 - i}}$
c) ${\left( {\sqrt 3 + i} \right)^3} - {\left( {\sqrt 3 - i}
\right)^3}$
d) $\frac{{{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt
3 - i} \right)}^2}}}$
Bài 3 :
Tìm liên hợp của các số phức
a. $z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}\left( {\sqrt 2 - i}
\right)}}{{\left( {\sqrt 2 + i} \right){{\left( {1 - i}
\right)}^2}}}$
b. $z = \frac{1}{{2i}} + \frac{3}{i} + \frac{6}{{5i}}$
c. $z = \left( {2 - 1} \right)\left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - 4i}
\right)$ d.
$z = \frac{{\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - 4i}
\right)}}{{2 + 3i}}$
Dạng 3. Tính toán trên các biểu thức phức
Phương pháp :
Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức
Bài 1:
Cho số phức $z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. Tính các số phức:
a.${\left( {\overline z } \right)^3}$
b.$1 + z + {z^2}$
Hướng dẫn:
a.${\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z }
\right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}
\right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
b.$1 + z + {z^2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i$
Bài 2:
Tính tổng $1 + i + {i^2} + {i^3} + ...... + {i^{2009}}$
Hướng dẫn:
Ta có $1 - {i^{2010}} = \left( {1 - i} \right)\left( {1 + i + {i^2} + {i^3}
+ .... + {i^{2009}}} \right)$
Mà $1 - {i^{2010}} = 1 - {\left( {{i^2}} \right)^{1005}} = 1 - {\left( { - 1}
\right)^{1005}} = 1 + 1 = 2$
$ \Rightarrow 1 + i + {i^2} + {i^3} + {i^4} + ..... + {i^{2009}} = \frac{2}{{1 -
i}}$
Vậy $1 + i + {i^2} + {i^3} + .... + {i^{2009}} = \frac{2}{{1 - i}} = 1 + i$
Bài 3:
Cho $z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}}$ . Hãy tính ${z^{2010}}$
Hướng dẫn:
$z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{1 -
{i^2}}} = - i \Rightarrow {z^{2010}} = {\left( { - i} \right)^{2010}} =
{\left[ {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right]^{1005}} = - 1$
Bài 4:
Tính số phức :
a.$z = {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 -
i}}{{1 + i}}} \right)^8}$
b. $z = {\left( {1 + i} \right)^{15}}$
Hướng dẫn:
a. $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{1 -
{i^2}}} = i \Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = - i$
$ \Rightarrow z = {i^{16}} + {\left( { - i} \right)^8} = {\left( {{i^2}}
\right)^8} - {\left[ {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right]^4} = 2$
b.
$\begin{gathered}
{\left( {1 + i} \right)^2} = 2i \Rightarrow {\left( {1 + i}
\right)^{14}} = {\left( {2i} \right)^{14}} = {\left[ {{{\left( {2i}
\right)}^2}} \right]^7} = - 128 \\
\Rightarrow z = {\left( {1 + i} \right)^{15}} = {\left( {1 + i}
\right)^{14}}\left( {1 + i} \right) = - 128 - 128i \\
\end{gathered} $
Bài tập tự giải:
Bài 1 :
Thực hiện các phép tính :
$a.\frac{{4 - 3i}}{{1 + i}} + \frac{{1 + i}}{{4 -
3i}}$
b.$\frac{{\overline {7 - 2i} }}{{8 - 6i}}$
c. $\frac{{\left( {3 - 2i} \right)\left[ {\left( {4 + 3i} \right) - \left( {1 +
2i} \right)} \right]}}{{5 -
4i}}$ d. $2 - 5i +
\frac{{1 + \sqrt 2 i}}{{2 + \sqrt 3 i}}$
Bài 2:
Rút gọn biểu thức sau:
$a.\quad {(1 + i)^{25}} b.\quad {\left(
{\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} \right)^{20}} c.\quad
{\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 - i}}{2}} \right)^{24}}.$
Bài 3:
Rút gọn biểu thức sau:
a) ${\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 3 }}{{1 - i}}} \right)^{20}}$
b) $\frac{{{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)}^{15}}}}{{{{\left( {1 - i}
\right)}^{^{20}}}}}$+ $\frac{{{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 }
\right)}^{15}}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{20}}}}$