Cho $f,g=[a;b]\Rightarrow R$ liên tụcCMR: $(\int\limits_{a}^{b}f(x).g(x)dx)^2\leq \int\limits_{a}^{b}f^2(x)dx.\int\limits_{a}^{b}g^2(x)dx$
|
CMR: $\int\limits_{0}^{1}e^{\frac{1}{1+x^2}}dx>\frac{4+\pi}{4}$
|
Chứng minh rằng :a) $e^x -1 < \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt < \sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})}, \forall x > 0$b)
$1 - \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx \leq \int\limits_{0}^{1}
\frac{dx}{1+x^2e^{-x}} < 1 -\frac{1}{2}
\int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx.$
|
Chứng minh rằng :a) $e^x -1 < \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt < \sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})}, \forall x > 0$b)
$1 - \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx \leq \int\limits_{0}^{1}
\frac{dx}{1+x^2e^{-x}} < 1 -\frac{1}{2}
\int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx.$
|
Cho $I_n = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin ^n xdx, n \in N$a) Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{\pi }{2(n+1)} } < I_n < \sqrt{\frac{\pi}{2n} }$b) Từ đó suy ra rằng : $ \mathop {\lim }\limits \frac{2.4.6...(2n)}{3.5.7...(2n-1)\sqrt{2n+1} } = \frac{\pi}{2}.$
|