Quay lại đáp án

Với $0<x,y<\pi $,ta có:$\frac{siinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$ Thật vậy ta có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng minh(*):Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0$ Thật t vậy có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$)Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác)Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*)Chứng minh(*):Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM)Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0<x,y< \pi $,ta có: :$\frac{sinx+siny}{2}\leq sin\frac{x+y}{2}$ Thật t vậy có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$ .Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = yÁp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với: $sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0 Ta có:$ sinx+ siny $=$2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$.Từ đó,ta có đpcm (Vì$cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = y Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$(1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với:$sinx+siny+sinz$+$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$(*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$(ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được:$sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy$max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Với $0 <x,y < \pi$,ta có: $sin\frac{x+y}{2}\geq \frac{sinx+siny}{2}$Ta có:$sinx+ siny$= $2.cos \frac{x-y}{2}$.$sin\frac{x+y}{2}$ .Từ đó,ta có đpcm (Vì $cos \frac{x-y}{2}\leq 1$) Dấu “ =” xảy ra khi x = y Áp dung bất đẳng thức trên ta chứng minh được$\frac{sinx+siny+sinz}{3}\leq sin\frac{x+y+z}{3}$ (1) (Với x,y,z là 3 góc của 1 tam giác) Bất đẳng thức trên tương đương với: $sinx+siny+sinz$+ $\frac{sinx+siny+sinz}{3}$ $\leq 4sin\frac{x+y+z}{3}$ (*) Chứng minh(*): Ta có:$VT\leq 2sin\frac{x+y}{2}+2sin\frac{z+\frac{x+y+z}{3}}{2}\leq 4sin\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4}\leq 4sin((x+y+z):3)$ (ĐPCM) Áp dung BĐT (1) ta được: $sinA+sinB+sinC\leq 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$Vậy $max (sinA+sinB+sinC)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$"="$\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$