Toán khó

Bước 1: Xét mẫu số của số hạng tổng quát trong tổng trên:

      S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n                     ( * )

      Khi viết S theo thứ tự ngược lại la có:

      S = n + (n - 1) + ... + 2 + 1                     ( ** )

     Cộng vế với vế của ( * ) và ( ** ) ta có:

     S + S = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + ... + [(n - 1) + 2] + [n + 1]

     2 . S = [n + 1]   + [n + 1] +   . . .    + [n + 1]       + [n + 1]     (Tổng có n số hạng [n + 1] )

     2 . S = n.(n + 1)

  => S = n.(n + 1)/2

  => Số hạng tổng quát của tổng đã cho là:

     $\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{1}{\frac{1}{2}.n.\left(n+1\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}$

Bước 2: Ta có nhận xét:

    $\frac{2}{n\left(n+1\right)}=2.\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$

  =>  $\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$                     ( *** )

Bước 3:  Thay n = 1, 2, ... vào ( *** ) ta được các đẳng thức tương ứng:

     $\frac{1}{1+2}=\frac{2}{2}-\frac{2}{3}$

     $\frac{1}{1+2+3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{4}$

     $\frac{1}{1+2+3+4}=\frac{2}{4}-\frac{2}{5}$

     .   .   .   

Cộng các vế với nhau ta được:

        $1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...$

  $=1+\left[\left(\frac{2}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{4}\right)+\left(\frac{2}{4}-\frac{2}{5}\right)+...\right]$

  $=1+\left[\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{4}-\frac{2}{5}+...\right]$

  $=1+\frac{2}{2}=2$

Vậy tổng đã cho có kết quả bằng 2.