Điều kiện của phương trình là x≥−1.Có thể thấy x=−1 hoặc x=3 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Các trường hợp còn lại của x được xét như sau.
Trường hợp x∈(−1;3). Khi đó $0
2x+1+22(x+1)3+41(x+1)7−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷>24+2243+4147−−−√−−−−−−−−−−⎷−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷=1,
hay
2(x+1)+22(x+1)+24(x+1)−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√>x+1.
Kết quả trên cho thấy các giá trị của x∈(−1;3) không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Trường hợp x∈(3;+∞). Khi đó x+1>4. Từ đó suy ra
2x+1+22(x+1)3+41(x+1)7−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷<24+2243+4147−−−√−−−−−−−−−−⎷−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷=1,
hay
2(x+1)+22(x+1)+24(x+1)−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√<x+1.
Kết quả trên cho thấy các giá trị của x∈(3;+∞) không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Thành thử, phương trình đã cho có hai nghiệm, đó là x=−1 hoặc x=3.