Dễ thấy: Delta của phương trình (1) và phương trình (2) bằng nhau và đều bằng $b^2-4ac$Vì cả 2 phương trình đều có ít nhất 1 nghiệm nên delta của 2 phương trình $\geq0$
Hay, $b^2\geq4ac$
$\Leftrightarrow b\geq 2\sqrt{ac}$
Công thức nghiệm của phương trình (1) là:
$A=\frac{-b\pm \sqrt{delta}}{2a}$
Công thức nghiệm của phương trình (2) là:
$B=\frac{-b\pm \sqrt{delta}}{2c}$
Ta có: Những phân số có mẫu âm thì phân số lớn nhất khi tử nhỏ nhất
Mà $A,B$ là nghiệm lớn nhất của 2 phương trình nên $A=\frac{-b-\sqrt{delta}}{2a}$ và $B=\frac{-b-\sqrt{delta}}{2c}$
Vậy, $A+B=\frac{-b+\sqrt{delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{delta}}{2c}$
Vì $a,c < 0$, nên ta đặt $a=-d$ và $c=-e$
$\Rightarrow A+B=(b+\sqrt{delta})(\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e})$
Mà delta $\geq 0$ nên:
$A+B \geq b.(\frac{1}{2d}+ \frac{1}{2e})$
Theo bđt Cô-si với $a+b\geq2\sqrt{ab}$
Ta có: $\frac{1}{2d}+\frac{1}{2e}\geq \frac{2}{\sqrt{4de}}=\frac{1}{de}$
Nên, $A+B\geq \frac{b}{\sqrt{de}}$
Mà $b\geq2\sqrt{ac}$ và $ac=de$ nên $b\geq2\sqrt{de}$
Vậy, $A+B\geq\frac{2\sqrt{de}}{\sqrt{de}}=2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ delta$=0$ và $d=e$ $\Leftrightarrow$ $b^2=4ac$ và $a=c$