Ta cắt khối chóp dọc theo cạnh $SA$, và trải ra mặt phẳng như sau(Ở đây giả sử điểm $A$ tách theo 2 mặt phẳng $SAB,SAC$ thành 2 điểm $A_1,A_2$ tương ứng)
Ta có chu vi $\triangle AB'C'=AB'+B'C'+C'A=A_1B'+B'C'+C'A_2$
Vì $A_1,A_2$ cố định nên tổng trên nhỏ nhất khi và chỉ khi $A_1,B',C,A'_2$ thẳng hàng (như hình)
Do $SB'=SC'$ nên theo talet đảo, ta suy ra $B'C'$//$BC$
Do $BA_1=BC\& SA_1=SC\Rightarrow IA_1=IC$($SB$ là trung trực của $AC$)
Từ các trên ta suy ra 2 tam giác vuông $A_1IB'$ và $CIB$ bằng nhau
Suy ra $A_2C'=A_1B'=BC=\sqrt{2-\sqrt 3} \cdot a$
Trong tam giác vuông cân $SA_1A_2$ ta tính được $A_1A_2=\sqrt 2\cdot a$
Suy ra $B'C'=\sqrt 2\cdot a-2\cdot \sqrt{2-\sqrt 3} \cdot a$
Hay $\frac{B'C}{BC}=\sqrt 3-1$
Vậy $k=\frac{SB'}{SB}\cdot \frac{SC'}{SC}=\left(\frac{B'C'}{BC}\right)^2=4-2\sqrt 3$