Lấy $O$ là tâm hbh, $I$ thuộc $SO$, ta vẽ được thiết diện như hình
Dùng lại bài toán đó nhé, ta có $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}=2\cdot \frac{SO}{SI}=\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}$
$\Leftrightarrow \frac {SC}{SP}+\frac 12=\frac{SD}{SQ}\Leftrightarrow x+\frac 12=y$
Với $x=\frac{SC}{SP},y=\frac{SD}{SQ};( x \ge 1,y\ge \frac 32)$
$\frac{V_{SMNPQ}}{V_{SABCD}}=\frac{V_{SMNQ}}{2\cdot S_{ABD}}+\frac{V_{SPNQ}}{2\cdot S_{CBD}}=\frac 12\left ( \frac{SM}{SA}\cdot\frac{SN}{SB}\cdot\frac{SQ}{SD}+ \frac{SP}{SC}\cdot\frac{SN}{SB}\cdot\frac{SQ}{SD}\right )$
$=\frac 12\left ( \frac 13\cdot\frac{SQ}{SD}+\frac 23\cdot\frac{SP}{SC}\cdot\frac{SQ}{SD} \right )=\frac 12\left ( \frac 13\cdot\frac 1y+\frac 23\cdot \frac 1x\cdot \frac 1y\right )=\frac 1{6y}+\frac 1{3\left(y-\frac 12\right)\cdot y}$
Khảo sát hàm số ta được $V_{\max}=\frac 13\cdot V_{SABCD}$