Giả sử phương trình có nghiệm nguyên, và nghiệm nguyên có giá trị tuyệt đối của x (hoặc y) nhỏ nhất là $(x_0,y_0)(x_0,y_0\neq 0)$Ta có $\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}=\frac{1}{7}\Leftrightarrow 7(x_0^2+y_0^2)=x_0^2y_0^2$ (1)
Do $7(x_0^2+y_0^2)$ chia hết cho 7 nên $x_0^2y_0^2$ chia hết cho 7 nên $x_0$ hoặc $y_0$ chia hết cho 7
Do vai trò của $x,y$ là như nhau nên giả sử $x_0$ chia hết cho 7
Đặt $x_0=7a (a\neq 0)$, thay vào (1) được
$7(49a^2+y_0^2)=49a^2y_0^2\Leftrightarrow 49a^2+y_0^2=7a^2y_0^2$ (2)
Do $49a^2$ và $7a^2y_0^2$ chia hết cho 7 nên $y_0^2$ chia hết cho 7 nên $y_0$ chia hết cho 7
Đặt $y_0=7b(b\neq 0)$, thế vào (2) được:
$49a^2+49b^2=7a^2.49b^2\Leftrightarrow a^2+b^2=7a^2b^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{7}$
$\Rightarrow (a,b)$ cũng là một nghiệm của phương trình, mà lại có $|a|<|x|;|b|<|y|\Rightarrow $ Trái với giả sử
$\Rightarrow $ giả sử sai $\Rightarrow $ đpcm