Xét f:R→(−1;1) thoả f(x)=x1+|x|. Rõ ràng f là ánh xạ.Để chứng minh f là song ánh, ta chứng minh f là toàn ánh và đơn ánh.
a. Chứng minh f là đơn ánh: Giả sử tồn tại x1,x2∈R sao cho f(x1)=f(x2), tức x11+|x1|=x21+|x2| hay x1+x1|x2|=x2+x2|x1| (*)
Ta xét 3 trường hợp:
x1,x2≥0: (*) trở thành x1+x1x2=x2+x+2x1⇔x1=x2
x1,x2<0: (*) trở thành x1−x1x2=x2−x2x1⇔x1=x2
Không mất tính tổng quát, giả sử x1<0≤x2 trong trường hợp x1,x2 trái dấu, khi đó (*) trở thành
x1+x1x2=x2−x1x2⇔x1+2x1x2=x2⇔x1(1+2x2)=x2.
Điều này vô lý vì vế trái <0 còn vế phải ≥0.
Vậy từ f(x1)=f(x2) ta đều dẫn đến x1=x2. Suy ra f là đơn ánh.
b. Chứng minh f là toàn ánh.
Với mọi a∈[0;1), giả sử x1+|x|=a đều thoả mãn nghiệm x=a1−a∈R hay tồn tại x=a1−a∈R thoả f(x)=a
Với mọi a∈(−1;0), giả sử x1+|x|=a đều thoả mãn nghiệm x=a1+a∈R hay tồn tại x=a1+a∈R thoả f(x)=a.
Suy ra với mọi a∈(−1;1) đều tồn tại x∈R thoả f(x)=a. Do đó f là toàn ánh.
Từ đây suy ra f là đơn ánh.