Xét $f: R\to (-1;1) $ thoả $f(x)= \frac{x}{1+|x|}$. Rõ ràng $f$ là ánh xạ.Để chứng minh $f$ là song ánh, ta chứng minh $f$ là toàn ánh và đơn ánh.
a. Chứng minh $f$ là đơn ánh: Giả sử tồn tại $x_1,x_2 \in R$ sao cho $f(x_1)=f(x_2)$, tức $\frac{x_1}{1+|x_1|} =\frac{x_2}{1+|x_2|}$ hay $x_1+x_1|x_2|=x_2+x_2|x_1|$ (*)
Ta xét 3 trường hợp:
$x_1,x_2 \geq 0$: (*) trở thành $x_1+x_1x_2=x_2+x+2x_1\Leftrightarrow x_1=x_2$
$x_1,x_2<0$: (*) trở thành $x_1-x_1x_2=x_2-x_2x_1\Leftrightarrow x_1=x_2$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1<0 \leq x_2$ trong trường hợp $x_1, x_2$ trái dấu, khi đó (*) trở thành
$x_1+x_1x_2=x_2-x_1x_2\Leftrightarrow x_1+2x_1x_2=x_2\Leftrightarrow x_1(1+2x_2)=x_2$.
Điều này vô lý vì vế trái $<0$ còn vế phải $\geq0$.
Vậy từ $f(x_1)=f(x_2) $ ta đều dẫn đến $x_1=x_2$. Suy ra $f$ là đơn ánh.
b. Chứng minh $f$ là toàn ánh.
Với mọi $a \in [0;1)$, giả sử $\frac{x}{1+|x|}=a $ đều thoả mãn nghiệm $x=\frac{a}{1-a} \in R$ hay tồn tại $x=\frac{a}{1-a} \in R$ thoả $f(x)=a$
Với mọi $a \in (-1;0)$, giả sử $\frac{x}{1+|x|}=a $ đều thoả mãn nghiệm $x=\frac{a}{1+a} \in R$ hay tồn tại $x=\frac{a}{1+a} \in R$ thoả $f(x)=a$.
Suy ra với mọi $a \in (-1;1)$ đều tồn tại $x \in R$ thoả $f(x)=a$. Do đó $f$ là toàn ánh.
Từ đây suy ra $f$ là đơn ánh.