a. (P) cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm có tung độ là 2, 10, ta thế vào phương trình đường thẳng (d) để tìm x, $\begin{cases} 2=-2x+6\\10=-2x+6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\x=-2\end{cases}$
ta được 2 điểm mà đồ thị đi qua là $(2;2)$ và $(-2;10)$.
Thế vào phương trình (P) ta có:
Với $x=-2, y=10$ thì $10=a(-2)^2+b(-2)+c $ suy ra $4a-2b+c=10$
Với $x=2,y=2$ thì $2=a.2^2+b.2+c$ suy ra $4a+2b+c=2$
Cộng và trừ 2 liên hệ trên ta có
$\begin{cases} 4a+c=6\\-4b=8 \end{cases} $ suy ra $\begin{cases}b=-2\\c=6-4a \end{cases} $
Lại có, hàm số đạt min là 2 nên suy ra $a>0$ và $-\frac{\Delta}{4a}=2$.
Suy ra $-8a=\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4a(6-4a)=16a^2-24a+4 $ Hay phương trình bậc 2 theo a là
$16a^2-16a+4=0 $ có nghiệm kép $a=\frac{1}{2} $ thoả. Suy ra $c=4$
Vậy (P) là $y=\frac{1}{2}x^2-2x+4$
b. Điểm $A(0;1)$ thuộc (P) nên $1=a.0^2+b.0+c$ suy ra $c=1$.
Vì $B(1;0)$ thuộc (P) nên $0=a.1^2+b.1+1$ dẫn đến quan hệ $a=-b-1$.
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng $y=x-1$ nên phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép, tức
$ax^2+bx+1=x-1 $ có nghiệm kép hay $ax^2+(b-1)x+2=0$ có nghiệm kép dẫn đến
$\Delta=(b-1)^2-8a=b^2-2b+1-8(-b-1)=b^2+6b+9=0$. Suy ra $b=-3$.Do đó $a=2$
Vậy (P) là $y=2x^2-3x+1$.