Biến đổi đồng nhất

Question

1) cho a+b+c=0. CM: $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)^2$

2)cm rằng nếu xyz=1 thì $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1$

3)cho ba số a,b,c khác nhau. CM: $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$

4) CM rằng nếu : $x=\frac{a-b}{a+b};y=\frac{b-c}{b+c};z=\frac{c-a}{c+a}$ thì

(1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)

score 1 · Answer 1

4)

$1+x= 1+\frac{a-b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}$

$1 -x= 1- \frac{a-b}{a+b}=\frac{2b}{a+b}$
=>

$\frac{1+x}{1-x}=\frac{2a}{2b}$
Tương tự

$\frac{1+y}{1-y}=\frac{2b}{2c}$ ,

$\frac{1+z}{1-z}=\frac{2c}{2a}$
=>

$\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\frac{2a.2b.2c}{2b.2c.2a}=1$
=> ĐPCM

score 1 · Answer 2

3) VT =

$\frac{(a-c)-(a-b)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-a)-(b-c)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(c-b)-(c-a)}{(c-a)(c-b)}$
=

$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}$
= VP

quên ghi -1/(a-c)=1/(c-a) nhưng chắc em tự hiểu đc nhỉ :) – Chí Hiếu 08-09-17 09:58 PM

score 1 · Answer 3

2)

$\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}$

$= \frac{z}{z+zx+xyz}+\frac{zx}{zx+xyz+xyz^2}+\frac{1}{1+z+zx}$

$= \frac{z}{z+zx+1}+\frac{zx}{zx+1+z}+\frac{1}{1+z+zx}=1$

score 1 · Answer 4

1) Pt <=>

$2a^4+2b^4+2c^4=a^4+b^4+c^4+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}$
<=>

$a^4+b^4+c^4=2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}$
<=>

$a^4+b^4+c^4+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}=4a^{2}b^{2}$
<=>

$(a^2+b^2-c^2)^2-4a^{2}b^{2}=0$
<=>

$(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)=0$
<=>

$[(a-b)^2-c^2].[(a+b)^2-c^2]=0$
<=>

$(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)=0$ (vì a+b+c=0 nên cái này luôn đúng)
Vậy pt được chứng minh

4 Đáp án