Điều kiện đã cho tương đương với xy≥2−(x2+y2)6. Dễ dàng thấy rằng x2+y22≥xy; cho nên x2+y22≥2−(x2+y2)6; suy ra x2+y2≥12. Biến đổi P cho hợp lý thì được
P=−3x2y2+3(x2+y2)2−2(x2+y2)+1.
Vì x2y2≤(x2+y2)24 nên suy ra
P≥−3(x2+y2)24+3(x2+y2)2−2(x2+y2)+1
≥9(x2+y2)24−2(x2+y2)+1
≥[2(x2+y2)−1][18(x2+y2)−7]16+916
≥916.
Suy ra P≥916. Dấu bằng xảy ra khi các điều kiện xy=2−(x2+y2)6, x2+y2=12, x2y2=(x2+y2)24 cùng xảy ra; suy ra (x;y) có thể là một trong các cặp (12;12), (−12;−12).
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 916.