1. Điều kiện để hàm số xác định là $sinx\geq 0$ và $cosx\geq 0$.Vì $1\geq cosx\geq cos^2x\geq 0$ nên ta có:
$sinx=\sqrt{1-cos^2x}\geq \sqrt{1-cosx}\geq 1-cosx\geq 1-\sqrt{cosx}$.
Suy ra:
$y\geq \frac{2sinx-2\sqrt{cosx}-1}{3\sqrt{cosx}+1}\geq \frac{2(1-\sqrt{cosx})-2\sqrt{cosx}-1}{3\sqrt{cosx}+1}=\frac{-4\sqrt{cosx}+1}{3\sqrt{cosx}+1}\geq -\frac{3}{4}$.
Đồng thời khi lấy $x=0$ thì có $y=-\frac{3}{4}$.
2. Điều kiện của hệ là $x>0$ và $y>0$.
Đặt $u=x^2$ và $v=y^3$ với $u,v>0$. Khi đó hệ đã cho trở thành
$\begin{cases}log_{2}(\sqrt{u}).log_{3}(\sqrt[3]{v})=1 \\ u+v=31 \end{cases}$,
hay
$\begin{cases}log_{2}u.log_{3}(v)=6 \\ v=31-u \end{cases}$,
suy ra
$log_{2}u.log_{3}(31-u)-6=0$,
hay
$lnu.ln(31-u)-6ln2.ln3=0$ $(*)$.
Xét hàm số:
$f(t)=lnu.ln(31-u)-6ln2.ln3,\forall u\in (0;31)$.
Khi đó ta có:
$f'(u)=\frac{(31-u)ln(31-u)-ulnu}{u(31-u)},\forall u\in (0;31)$.
Dễ thấy rằng $f'$ nhận giá trị dương trên $(0;1]$ và nhận giá trị âm trên $[30;31)$. Suy ra phương trình $f'(u)=0$ chỉ có thể có nghiệm trên $(1;30)$.
Xét hàm số:
$g(u)=ulnu,\forall u\in (1;30)$.
Khi đó ta có:
$g'(u)=lnu+1>0,\forall u\in(1;30)$.
Do đó $g$ tăng trên $(1;30)$. Suy ra $g(31-u)=g(u)$ có thể có nhiều nhất một nghiệm trên $(1;30)$, hay $f'(u)=0$ có thể có nhiều nhất một nghiệm trên $(1;30)$. Suy ra $f'(u)=0$ có thể có nhiều nhất một nghiệm trên $(0;31)$. Điều này chứng tỏ $f$ có nhiều nhất một cực trị trên tập xác định của nó. Suy ra $(*)$ có nhiều nhất hai nghiệm phân biệt.
Kiểm tra trực tiếp thì thấy $u=4$ và $u=27$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$.
Thành thử $(*)$ có đúng hai nghiệm trên. Do đó hệ hai ẩn $u,v$ có hai nghiệm là $(u;v)=(4;27)$ và $(u;v)=(27;4)$. Suy ra hệ ban đầu có hai nghiệm là $(x;y)=(2;3)$ và $(x;y)=(3\sqrt{3};\sqrt[3]{4})$.