Dễ dàng tìm dc $x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1$hay $x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2}\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$
$\Rightarrow y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i+2}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i+1}-\frac{1}{x_{i+1}+1}\right)=\frac 12-\frac 1{x_{n+1}+1}$
Vì $x_{n+1}-x_n=(x_n+1)^2 >0 \forall n=1,2,...\Rightarrow x_n$ là dãy tăng
Giả sử $\lim x_n=\rm L\Rightarrow L=L^2+3L+1\Rightarrow L=-1$(vô lí)
Vậy $x_n$ tăng và ko bị chặn $\Rightarrow \lim x_n=+\infty$
Từ đó ta có $\lim y_n=\lim\left(\frac 12-\frac{1}{x_{n+1}+1}\right)=\frac 12$