BĐT nè.mn nhào zô!!!

Question

cho

$a,b,c>0$ .CMR

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc} +\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+ab} \geq \frac{9}{2}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 8/25/2016 8:42:47 PM

Cách khác nhé!

Đặt vế trái là A

Do vế trái là hàm thuần nhất nên ta chuẩn hóa :

$a+b+c=3$

$A=\sum \frac{a^2}{2bc} + \sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} = \sum \frac{a^2}{2bc}+ \sum a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca})$

Ta có :

$a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{4a^2}{b^2+c^2+ab+ca}=\frac{4a^2}{b^2+c^2+b.(3-b-c)+c(3-b-c)}$

$a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{4a^2}{3b+3c-2bc}$

Ta lại có :

$\frac{a^2}{2bc}+a^2.(\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ac}) \geq \frac{a^2}{2bc}+\frac{4a^2}{3b+3c-2bc} \geq a^2. \frac{(1+2)^2}{3b+3c} = \frac{9a^2}{3(b+c)}= \frac{3a^2}{b+c}$

Do đó:

$\frac{a^2}{2bc}+a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{3a^2}{b+c}$

$\Rightarrow VT \geq \sum \frac{3a^2}{b+c} \geq \frac{3.(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)}=\frac{9}{2}$ (Theo bất đẳng thức

$Cauchy-SChwart$ và

$a+b+c=3$ theo chuẩn hóa)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng khi

$a=b=c$

score 9 · Answer 2

Đặt

$t=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}, t \ge 1$

Ta có

$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{abc(a+b+c)} \ge 3\left( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)^2=3t^2$

$\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} \ge \sum\frac{(a+b)^2}{2(c^2+ab)} \ge \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}=1+\frac{2}{t}$

Suy ra

$VT \ge \frac{3t^2}{2}+\frac{2}{t}+1 =(t^2+\frac{1}{t}+\frac 1t)+\frac{t^2}{2}+1 \ge \frac 92$

Hỏi	25-08-16 05:04 PM
Lượt xem	2006
Hoạt động	25-08-16 08:42 PM

BĐT nè.mn nhào zô!!!

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT nè.mn nhào zô!!!

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan