Đặt vế trái là A.Ta có : A=∑√abc+1=∑√ab+cc=∑√ab+c(a+b+c)c=∑√(a+c)(b+c)c
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : (a+c)(b+c)≥(√ac+√bc)2
⇒(a+c)(b+c)≥c.(√a+√b)2
Do đó :
A≥∑√c.(√a+√b)2c⇒A≥∑(√a+√b)=2.(√a+√b+√c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng khi a=b=c=1/3