Đặt vế trái là A.Ta có : $A=\sum \sqrt{\frac{ab}{c}+1}=\sum \sqrt{\frac{ab+c}{c}}=\sum \sqrt{\frac{ab+c(a+b+c)}{c}}=\sum \sqrt{\frac{(a+c)(b+c)}{c}}$
Áp dụng bất đẳng thức $Bunhiacopxki$ ta có : $(a+c)(b+c)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bc})^2$
$\Rightarrow (a+c)(b+c)\geq c.(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$
Do đó :
$A\geq \sum \sqrt{\frac{c.(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{c}} \Rightarrow A\geq \sum (\sqrt{a}+\sqrt{b})=2.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng khi $a=b=c=1/3$