Bất đẳng thức $AM-GM$ : $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ và $a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$
Lại áp dụng $AM-GM$ ta có: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=3((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)$
Lại áp dụng $AM-GM$ lần nữa ta có: $3((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2) \geq 3(ab^2c+abc^2+a^2bc)=3abc(a+b+c)=3abc$ ($a+b+c=1$)
Vậy ta có: $3(a^4+b^4+c^4)\geq 3abc\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc$
Mà theo pt (2) thì dấu bằng xảy ra nên $a=b=c$
Kết hợp $a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$