Mình chứng minh với a,b,c∈R nhé :)
Đặt f(a,b,c)=(a+b)4+(b+c)4+(c+a)4−47(a4+b4+c4)Ta có f(a,b+c2,b+c2)=2(a+b+c2)4+(b+c)4−47(a4+(b+c)48)
⇒A=f(a,b,c)−f(a,b+c2,b+c2)
=a(a+b+c)(b−c)2+356(b−c)2(7b2+10bc+7c2)
Nếu a,b,c cùng dấu thì hiển nhiên A≥0
Nếu a,b,c không cùng dấu thì có ít nhất 1 trong 3 số cùng dấu với a+b+c, giả sử đó là a
⇒a(a+b+c)>0⇒A≥0
Do đó ta chỉ cần chứng minh f(a,b+c2,b+c2)≥0(1) là đủ
Đặt a=x,b+c2=y
(1)⇔2(x+y)4+16y4−47(x4+2y4)≥0
Nếu y=0 thì bdt trên hiển nhiên đúng
Nếu y≠0 chia 2 vế cho y4 và đặt xy=t
bdt trên tương đương với 2(x+1)4+16−4(x4+2)7≥0
Tới đây dễ rồi bạn tự hoàn thiện nốt nhé :)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0