Mình chứng minh với $a,b,c \in \mathbb{R}$ nhé :)
Đặt $f(a,b,c)=(a+b)^4+(b+c)^4+(c+a)^4-\frac 47(a^4+b^4+c^4)$Ta có $f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=2\left(a+\frac{b+c}2 \right)^4+(b+c)^4-\frac 47\left(a^4+\frac{(b+c)^4}{8}\right)$
$\Rightarrow A=f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)$
$=a(a+b+c)(b-c)^2+\frac 3{56}(b-c)^2(7b^2+10bc+7c^2)$
Nếu $a,b,c$ cùng dấu thì hiển nhiên $A \ge 0$
Nếu $a,b,c$ không cùng dấu thì có ít nhất 1 trong 3 số cùng dấu với $a+b+c$, giả sử đó là $a$
$\Rightarrow a(a+b+c)>0 \Rightarrow A \ge0$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right) \ge 0 \;(1)$ là đủ
Đặt $a=x,\frac{b+c}{2}=y$
$(1)\Leftrightarrow 2(x+y)^4+16y^4-\frac 47(x^4+2y^4) \ge0$
Nếu $y=0$ thì bdt trên hiển nhiên đúng
Nếu $y \ne0$ chia 2 vế cho $y^4$ và đặt $\frac xy=t$
bdt trên tương đương với $2(x+1)^4+16-\frac{4(x^4+2)}{7} \ge0$
Tới đây dễ rồi bạn tự hoàn thiện nốt nhé :)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$