|
|
Chiều đảo hiển nhiên . Ta chứng minh chiều thuận bằng phản chứng . Giả sử $a,b\in Z$ sao cho $a^2+b^2$ chia hết $p$ nhưng chẳng hạn $a $ không chia hết cho $p$ . Khi đó $b$ cũng không chia hết cho $p$ .Theo định lý nhỏ FERMAT thì
$a^{p-1}\div p$ dư 1,$b$ tương tự $\Rightarrow a^{p-1}+b^{p-1}\div p$ dư 2 $\Rightarrow (a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}\div p$ dư 2
Mặt khác $(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} =(a^2+b^2)A$ chia hết cho $p\Rightarrow 2$ chia hết cho $p$ vô lý vì $p\geq 3$
Vậy điều giả sử sai
|