xét f(x)$= 2 sin x +tan x - 3x trên (0;\frac{\pi }{2})$f'(x)=$2 cos x +\frac{1}{cos^2x}-3=\frac{(cos x -1 )(2 cos ^2 x- cos x -1)}{cos^2 x}>0\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow f (x) đồng biến trên (0;\frac{\pi}{2})$
$f (x)>f(0)=0\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow 2 sin x +tan x>3x$
$vì \Delta ABC nhọn nên $
$2 sin A +tan A>3A$
$2 sin B +tan B > 3 B$
$2 sin C + tan C >3 C$
$\Rightarrow tan A + tan B + tan C + 2 ( sin A +sin B +sin C)>3(A+B+C)>3\pi $(đpcm)