Vẽ đồ thị hàm số : $y = 8x^{4} - 9x^{2} + 1$ Ta thấy đồ thị có dạng hình chữ W : đạt cực trị $y = 1$ tại $x = 0$; đạt cực tiểu $y = -\frac{49}{32}$ tại $x = \pm \frac{3}{4}$.
Khi đó : $8\cos ^{4}x - 9\cos ^{2} + m =0$ (1)
Đặt $\cos ^{4}x = t$
$\Rightarrow $ (1) $\Leftrightarrow 8t^{4} - 9t^{2} +1 =1 - m$
Như vậy ta đã có đồ thị hàm số dạng này bên trên. Dựa vào đồ thị :
(**) $1 - m < -\frac{49}{32} \Leftrightarrow m > \frac{81}{32}\Rightarrow $ pt vô nghiệm
(**) $1 - m = -\frac{49}{32}\Leftrightarrow m = \frac{81}{32} \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt
(**) $\left\{ \begin{array}{l} 1-m>-\frac{49}{32}\\ 1-m<1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<\frac{81}{32}\\ m>0 \end{array} \right.\Rightarrow $ 0 < m < $\frac{81}{32} \Rightarrow $pt có 4 nghiệm phân biệt
(**) $1 - m = 1 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow $ pt có 3 nghiệm phân biệt
(**) $1 - m > 1 \Leftrightarrow m < 0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt
Kết luận : ....