$a(x-a)^2+b(x-b)^2=0\Leftrightarrow (a+b)x^2-2(a^2+b^2)x+(a^3+b^3)=0$Để PT có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a+b=0 \\ a^2+b^2\ne0\forall a;b\ne0 \end{cases}\\\begin{cases}a+b\ne0\\\Delta' =(a^2+b^2)^2-(a+b)(a^3+b^3)=0\end{cases} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a=-b\\ \begin{cases}a+b\ne0 \\ ab(a-b)^2=0 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow |a|=|b|$