Dễ thấy đường thẳng $d$ luôn qua điểm $A(1,4)$Gọi $C$ là trung điểm của $AB,\Rightarrow C(-1;3)$
Vì $H$ luôn nhìn $AB$ dươi 1 góc vuông nên $H$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $C$ bán kính $R=CB=\sqrt 5$ và có phương trình là $(C):(x+1)^2+(y-3)^2=5$
Gọi $d'$ là đường thẳng qua $C$ vuông góc $\Delta$. $d':-2x+y-5=0$
Khi đó dễ dàng chứng minh khoảng cách từ $H$ tới $\Delta$ đạt $\min$ khi $H$ là 1 trong 2 giao điểm của đường tròn $(C)$ và $d'$
Tọa độ $H$ là nghiệm của hpt sau $\begin{cases}(x+1)^2+(y-3)^2 =5\\ -2x+y-5=0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases}x=-2 \\ y=1 \end{cases}\\ \begin{cases}x= 0\\ y=5 \end{cases} \end{array} \right.$
Thử từng trường hợp ta tìm ra đc $H(-2;1)$ thỏa mãn ycbt