bất phương trình khó !

Question

Giải các bất phương trình sau :

$a) x-\frac{x^{3}}{6} < sinx < x (với x>0)$

$b) \frac{2}{3}sinx +\frac{1}{3}tanx > x (với 0< x <\frac{\Pi }{2})$

các bạn đã làm thì trình bày rõ ràng nhá !

score 3 · Answer 1

câu b) nhá !

Xét hàm số : $y=f(x)=\frac{2}{3}sinx+\frac{1}{3}-x $ trên $\left[ 0;\frac{\Pi }{2} \right.)$

$f'(x)= \frac{2}{3}cosx +\frac{1}{3cos^{2}x}-1<=> \frac{1}{3}cosx+\frac{1}{3}cosx+\frac{1}{3cos^{2}x}-1\geq 0$( Đánh giá 3 số hạng đầu theo cosi)

$=> f'(x) \geq 0 $ với $\forall x \in \left[ 0;+\infty ){} \right.$ => f(x) đồng biến trên $(0;+\infty )$

=>đccm

score 3 · Answer 2

mình đăng để các bạn cùng so sánh nhá !

- Xét bpt : $sinx < x <=> x-sinx >0$

- Xét hàm số : $f(x)= x-sinx $ trên $ \left( 0;+\infty \right.)$

$=>f'(x)=x-cosx\geq 0<=>$ hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\left[0;+\infty ){} \right.$

=> $f(x)>f(0)<=>f(x)>0$ với $\forall x \in (0;+\infty )$

$=> x-sinx > 0$ với $\forall x \in (o;+\infty )$

-Xét bpt : $x- \frac{x^{3}}{6} < sinx <=> x-sinx -\frac{x^{3}}{6}<0$

-Xét hàm số : $g(x) = x-sinx -\frac{x^{3}}{6}$ trên $\left[ 0;+\infty )\right.$

$g'(x) = 1-cosx -\frac{x^{2}}{2}=>g''(x) = sinx -x \leq 0 $ với $\forall x \in \left[ 0 ; +\infty \right.)$

$=> g''(x) \leq 0 $ =>g'(x) nghịch biến trên $\left[ {} \right.0;+\infty )$

$=>g'(x) \leq g'(0)=>g'(x)\leq 0$ => g(x) nghịch biến trên $\left[ 0;+\infty )\right.$

$=> g(x) \leq g(0)=>g(x)\leq 0=> x-\frac{x^{3}}{6}-sinx <0 $ với $\forall x \in (0 ;+\infty )$

=> đccm

2 Đáp án